🔗 Soustavy dvou rovnic

Hádanka

O čem to je

V kleci jsou slepice a králíci. Dohromady mají 10 hlav a 28 nohou. Kolik je králíků? Neznáš dvě čísla – počet slepic i králíků. Jedna rovnice na to nestačí, potřebuješ dvě.

Dvě rovnice se dvěma neznámými dohromady jsou soustava rovnic. Řeší úlohy o cenách lístků, směsích, rychlostech a spoustu hádanek.

Nové pojmy

NeznámáČíslo, které hledáme, označené písmenem.s = počet slepic, k = počet králíků
RovniceZápis, kde se dvě strany rovnají.s + k = 10 (hlavy)
Soustava rovnicDvě (nebo víc) rovnic, které musí platit zároveň.s + k = 10 a 2s + 4k = 28
Řešení soustavyDvojice čísel, která splňuje obě rovnice najednou. Píše se do hranatých závorek [x; y].[6; 4] – 6 slepic, 4 králíci.

Úvaha bez vzorců

Představ si, že všechna zvířata zvednou dvě nohy.
Zvedlo se 10 · 2 = 20 nohou, na zemi zbylo 28 − 20 = 8.
Na zemi stojí jen králíci, každý na dvou nohách.
Králíků je 8 : 2 = 4, slepic 10 − 4 = 6.

Totéž rovnicemi

Hlavy: s + k = 10. Nohy: 2s + 4k = 28. Z první rovnice: s = 10 − k. Dosaď do druhé: 2(10 − k) + 4k = 28 → 20 + 2k = 28 → k = 4. Pak s = 6.

Obrázkem: dvě přímky

Každá rovnice se dvěma neznámými se dá nakreslit jako přímka – rovná čára ze všech dvojic, které ji splňují. Řešení soustavy je bod, kde se obě přímky protnou.

Nakreslená je přímka y = x + 1. Druhá přímka y = −x + 3 by ji protnula v bodě [1; 2]. Zkus nastavit k = −1 a q = 3 a podívej se, kudy vede.

Lístek pro dospělého stojí 100 Kč, pro dítě 60 Kč. Za 5 lístků zaplatíš 380 Kč. Kolik je dospělých?
Dospělých d, dětí 5 − d. 100d + 60(5 − d) = 380 → 100d + 300 − 60d = 380 → 40d = 80 → d = 2.
✗Vyšlo k = 4, hotovo.
✓Dopočítej i druhou neznámou: s = 6. Řešení je [6; 4].

Řešení soustavy je vždy dvojice čísel. A obě musí sedět v obou rovnicích: 6 + 4 = 10, 12 + 16 = 28 ✓.

Soustava = dvě rovnice, které platí zároveň. Řešení = dvojice [x; y] – na obrázku průsečík dvou přímek.

Dvě metody

O čem to je

Se dvěma neznámými najednou počítat neumíme. Cíl je proto vždy stejný: jednu neznámou se zbavit, vyřešit obyčejnou rovnici a pak dopočítat tu druhou. Jsou na to dvě metody.

Nové pojmy

Soustava dvou rovnicDvě rovnice se dvěma neznámými (x, y), které musí platit současně.x + y = 10, x − y = 2
KoeficientČíslo před neznámou.Ve 3x + 2y je u x koeficient 3, u y koeficient 2.
Opačná číslaČísla, která se liší jen znaménkem. Jejich součet je 0.+y a −y, 3 a −3
Uspořádaná dvojice [x; y]Zápis řešení: první číslo patří x, druhé y. Pořadí je důležité.[6; 4] znamená x = 6, y = 4.

Sčítací metoda

x + y = 10 a x − y = 2.
U y jsou opačné koeficienty (+1 a −1). Sečti rovnice: levé strany spolu, pravé spolu.
(x + y) + (x − y) = 10 + 2 → 2x = 12 → x = 6.
Dosaď do první: 6 + y = 10 → y = 4.
Zkouška ve druhé: 6 − 4 = 2 ✓. Řešení [6; 4].

Nemají-li neznámé opačné koeficienty, vynásob napřed jednu rovnici vhodným číslem.

Dosazovací metoda

y = 2x a x + y = 9.
Z první rovnice už víš, čemu se rovná y.
Dosaď 2x místo y do druhé: x + 2x = 9.
3x = 9 → x = 3.
Dopočítej y = 2 · 3 = 6. Řešení [3; 6].
2x + y = 7 a x − y = 2. Kolik je y?
Sečti: 3x = 9, x = 3. Dosaď do druhé: 3 − y = 2, y = 1.

Kolik může být řešení

přímkypočet řešení
protínají se (různoběžky)1
rovnoběžné, různé0
totožné (jedna leží na druhé)nekonečně mnoho

Přímka y = x + 1. Nastav ještě q = 3: dostaneš přímku rovnoběžnou – nikdy se nepotkají, soustava nemá řešení.

✗x + y = 3 a x + y = 5 má jedno řešení.
✓Nemá žádné.

Součet x + y nemůže být zároveň 3 i 5. Graficky jsou to dvě rovnoběžné přímky.

Zbav se jedné neznámé: sečti rovnice (sčítací metoda) nebo dosaď vyjádřenou neznámou (dosazovací). Dopočítej druhou a udělej zkoušku.
🔍Rovnice s neznámou ve jmenovateli📈Funkce a lineární funkce