🔍 Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Odstraň zlomek

O čem to je

12 bonbonů rozdělíš mezi děti a každé dostane 4. Kolik bylo dětí? Zapsáno: 12/x = 4. Neznámá je tady ve jmenovateli – dole ve zlomku.

Takové rovnice vznikají u úloh o společné práci, rychlosti a čase nebo o dělení. Trik je jednoduchý: zbavit se zlomku.

Nové pojmy

RovniceZápis, kde se levá a pravá strana rovnají. Hledáme číslo x, pro které to platí.12/x = 4
JmenovatelČíslo nebo výraz dole ve zlomku (za lomítkem).V 12/x je jmenovatel x.
PodmínkaHodnota, kterou x nesmí mít, protože by jmenovatel byl 0 (nulou dělit nejde).U 12/x platí x ≠ 0.
KořenČíslo, které rovnici splňuje – její řešení.Kořen rovnice 12/x = 4 je 3.

Úvaha

12 děleno kolika dá 4? Protože 12 : 3 = 4, je x = 3. U jednoduchých rovnic to vidíš hned. U složitějších pomůže trik.

Trik: vynásob jmenovatelem

Když obě strany rovnice 12/x = 4 vynásobíš x, zlomek zmizí: 12 = 4x. To je obyčejná rovnice. Zkus ji vyřešit na vahách – rozděl obě misky na 4 díly.

6/x = 2
Podmínka x ≠ 0. Vynásob x: 6 = 2x. Vyděl 2: x = 3. Kontrola: 6/3 = 2 ✓.
4/(x + 2) = 1
Podmínka x ≠ −2. Vynásob (x + 2): 4 = x + 2. x = 2. Kontrola: 4/4 = 1 ✓.

Pozor na zakázané číslo

Rovnice x/(x − 2) = 2/(x − 2). Vynásobíš (x − 2) a vyjde x = 2. Ale pro x = 2 je jmenovatel 0! Takové číslo je zakázané. Rovnice nemá řešení.

✗Vyšlo x = 2, hotovo.
✓Porovnej výsledek s podmínkou. Je-li zakázaný, není to řešení.

Násobením výrazem s x se může objevit „falešný“ kořen, pro který by v původní rovnici byl jmenovatel nula.

Napiš podmínku, vynásob rovnici jmenovatelem, vyřeš a ověř, že kořen není zakázaný.

Postup

O čem to je

Rovnice s neznámou ve jmenovateli se řeší vždy stejně: převedeš je na obyčejnou lineární rovnici. Postup má pět kroků a poslední – kontrola podmínky – je nejdůležitější.

Nové pojmy

Lineární rovniceRovnice, kde je x jen v první mocnině, třeba 3x + 1 = 7. Řeší se úpravami na obou stranách.x + 1 = 3x − 3
Lomený výrazZlomek s proměnnou ve jmenovateli.(x + 1)/(x − 1)
Podmínkax nesmí mít hodnotu, pro kterou je některý jmenovatel 0.(x + 1)/(x − 1): x ≠ 1
Společný jmenovatelVýraz, který jde vydělit všemi jmenovateli v rovnici. Vynásobením jím zmizí všechny zlomky.Pro 1/x a 1/(2x) je to 2x.

Pět kroků

Zadání: (x + 1)/(x − 1) = 3
Podmínka: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1.
Vynásob obě strany (x − 1): x + 1 = 3(x − 1) = 3x − 3.
Vyřeš: 1 + 3 = 3x − x → 4 = 2x → x = 2.
Porovnej s podmínkou: 2 ≠ 1 ✓. Kořen je x = 2.
3/x + 1 = 4
Podmínka x ≠ 0. Odečti 1: 3/x = 3. Vynásob x: 3 = 3x. x = 1 ✓.
1/x + 1/(2x) = 3
Podmínka x ≠ 0. Společný jmenovatel 2x. Vynásob: 2 + 1 = 6x. 3 = 6x, x = 1/2 = 0,5 ✓.
(2x − 1)/3 = (x + 4)/2
Tady je x jen v čitateli, podmínka žádná. Vynásob 6: 2(2x − 1) = 3(x + 4). 4x − 2 = 3x + 12. x = 14.

Ověř si poslední krok prvního příkladu na vahách: 2x = 4.

✗1/x + 1/(2x) = 3 → vynásobím x: 1 + 1/2 = 3x … a zlomek zůstal.
✓Násob společným jmenovatelem 2x: 2 + 1 = 6x.

Aby zmizely všechny zlomky, musí jít číslo, kterým násobíš, vydělit každým jmenovatelem.

Podmínka → násob společným jmenovatelem → vyřeš → ověř podmínku. Kořen, který porušuje podmínku, není řešení.
➗Lomené výrazy🔗Soustavy dvou rovnic