➗ Lomené výrazy

Jako zlomky

O čem to je

Pizzu za 300 Kč si dělí x kamarádů. Každý zaplatí 300/x korun. Kolik to je, nevíš, dokud nevíš, kolik vás je. Zlomek s písmenem uvnitř se jmenuje lomený výraz.

Dobrá zpráva: počítá se s ním úplně stejně jako s obyčejnými zlomky. Kdo umí zlomky, umí i lomené výrazy – jen musí hlídat jednu věc navíc.

Nové pojmy

Čitatel a jmenovatelVe zlomku a/b je a čitatel (nahoře) a b jmenovatel (dole).V 300/x je čitatel 300, jmenovatel x.

ProměnnáPísmeno, které zastupuje číslo.x = počet kamarádů

Lomený výrazZlomek, který má proměnnou ve jmenovateli.3/x, (x + 1)/(x − 2)

PodmínkaHodnoty proměnné, které jsou zakázané, protože by jmenovatel vyšel nula. Nulou dělit nejde.U 5/(x − 3) je podmínka x ≠ 3 (čti „x se nerovná 3“).

Proč nulou dělit nejde

6 : 2 = 3, protože 2 · 3 = 6. Kolik je 6 : 0? Hledáš číslo, které krát 0 dá 6. Takové není – cokoli krát 0 je 0. Proto dělení nulou nemá smysl a jmenovatel nesmí být 0.

Krácení jako u zlomků

Zlomek 2/6 zkrátíš na 1/3 – nahoře i dole vydělíš 2. Nastav 2/6 a pak 1/3: vybarvená část je stejná.

U výrazů je to stejné: 6x/(3x) – nahoře i dole vydělíš 3x a zbude 2 (pro x ≠ 0).

Kolik je 2/x + 3/x?

Stejný jmenovatel – jako 2 pětiny + 3 pětiny. Sečti čitatele: 5/x. Podmínka x ≠ 0.

Hodnota (x + 2)/(x − 1) pro x = 4?

Dosaď: (4 + 2)/(4 − 1) = 6/3 = 2.

Násobení a dělení

I tady platí pravidla zlomků: násobíš čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Dělíš tak, že druhý výraz převrátíš a vynásobíš: (x/3) : (x/6) = x/3 · 6/x = 6/3 = 2.

Někdy se dá krátit až po rozložení: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) (vzorec a² − b²). Proto (x² − 9)/(x + 3) = x − 3, pro x ≠ −3.

✗(x + 4)/4 = x + 1 (čtyřky se zkrátí)

✓(x + 4)/4 se zkrátit nedá.

Krátit smíš jen to, čím se násobí celý čitatel i jmenovatel. Tady je 4 jen sčítanec. Zkus x = 4: (4 + 4)/4 = 2, ale x + 1 = 5.

Lomený výraz = zlomek s proměnnou. Počítáš jako se zlomky. Jmenovatel nesmí být nula – vždy napiš podmínku.

Postup

O čem to je

Lomené výrazy se objevují ve fyzice (rychlost = dráha / čas) i v ekonomii. Tady je přesný postup pro všechny čtyři operace a pro krácení.

Nové pojmy

Lomený výrazPodíl dvou výrazů, kde je proměnná ve jmenovateli.(x² − 4)/(x − 2)

Podmínka (definiční obor)Výčet hodnot, které proměnná nesmí mít, aby jmenovatel nebyl 0.U 1/(x + 3) platí x ≠ −3.

Rozklad na součinPřepsání výrazu jako součinu závorek, třeba podle vzorce a² − b² = (a − b)(a + b).x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Společný jmenovatelVýraz, na který lze rozšířit oba lomené výrazy, aby měly stejný jmenovatel.Pro 1/x a 1/(2x) je to 2x.

Krácení krok za krokem

Zadání: (x² − 4)/(x − 2).

Podmínka: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2.

Rozlož čitatele: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

Zkrať společnou závorku (x − 2).

Výsledek: x + 2, pro x ≠ 2.

Operace

operace	jak	příklad
+ −	společný jmenovatel, pak sečti čitatele	1/x + 1/(2x) = 2/(2x) + 1/(2x) = 3/(2x)
·	čitatel · čitatel, jmenovatel · jmenovatel	(a/b) · (b/c) = ab/(bc) = a/c
:	násob převráceným výrazem	(x/3) : (x/6) = x/3 · 6/x = 2

1/x + 1/y = ?

Společný jmenovatel xy. 1/x = y/(xy), 1/y = x/(xy). Součet (x + y)/(xy), podmínky x ≠ 0, y ≠ 0.

(x² − 9)/(x + 3) = ?

Podmínka x ≠ −3. x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Zkrátím (x + 3): x − 3.

Procvič si pravidla – otoč kartičku.

podmínka u 5/(x − 3) – x ≠ 3
2/x + 3/x – 5/x
6x/(3x) – 2 (x ≠ 0)
(x/3) : (x/6) – 2 (x ≠ 0)

✗(x + 2)/2 = x + 1

✓Nejde zkrátit.

Krátí se jen součin. Čitatel x + 2 je součet; dvojkou bys musel dělit oba sčítance: x/2 + 1.

Nejdřív podmínky. Krátit smíš jen součin – proto čitatele i jmenovatele nejdřív rozlož. Sčítání přes společný jmenovatel, dělení = násobení převráceným výrazem.

🔍Rovnice s neznámou ve jmenovateli