📈 Funkce a lineární funkce

Taxík a graf

O čem to je

Taxík účtuje 40 Kč za nástup a 30 Kč za každý kilometr. Za 1 km zaplatíš 70 Kč, za 2 km 100 Kč, za 5 km 190 Kč. Ke každé délce cesty patří právě jedna cena.

Takovému pravidlu se říká funkce. Funkce popisují, jak jedna věc závisí na druhé – cena na kilometrech, teplota na čase, výška rostliny na dnech.

Nové pojmy

FunkcePravidlo (předpis), které každému číslu x přiřadí právě jedno číslo y.Cena taxíku y = 30 · x + 40, kde x jsou kilometry.
Graf funkceObrázek všech dvojic [x; y] v rovině. Vodorovná osa je x, svislá osa y.Bod [2; 100]: 2 km stojí 100 Kč.
Bod [x; y]Místo v grafu: x dílků doprava (nebo doleva při záporném x) a y dílků nahoru (dolů).[1; 3] = 1 doprava, 3 nahoru.
Lineární funkceFunkce s předpisem y = k · x + q. Jejím grafem je vždy přímka.y = 2x + 1

Pohraj si s přímkou

Posouvej k a sleduj, jak se mění sklon přímky. Pak posouvej q a sleduj, jak přímka jezdí nahoru a dolů.

  • k = o kolik vzroste y, když x vzroste o 1. Je to „cena za kilometr“.
  • k > 0: přímka stoupá (funkce je rostoucí). k < 0: klesá (klesající). k = 0: vodorovná (konstantní).
  • q = kde přímka protne svislou osu y. Je to „nástupné“ – cena za 0 km.
Taxík: 40 Kč nástup + 30 Kč za km. Napiš předpis a spočítej cenu za 5 km.
Nástup je pevný (q = 40), za každý km +30 (k = 30): y = 30x + 40. Pro x = 5: 30 · 5 + 40 = 190 Kč.
Leží bod [2; 5] na grafu y = 2x + 1?
Dosaď x = 2: y = 2 · 2 + 1 = 5. Vyšlo stejné y → ano, leží.
✗V y = 30x + 40 je 40 cena za kilometr.
✓30 je cena za km (k), 40 je pevná částka (q).

Číslo, které násobí x, se s x mění. Samotné číslo bez x zůstává stejné, ať jedeš kolik chceš.

Funkce přiřadí každému x právě jedno y. Lineární funkce y = kx + q má graf přímku: k určuje sklon, q kde protne osu y.

Tabulka

O čem to je

Funkci můžeš zapsat třemi způsoby: předpisem, tabulkou a grafem. Kdo umí přecházet mezi nimi, ten funkci opravdu rozumí. Začneme tabulkou.

Nové pojmy

FunkcePředpis, který každému x z dovolených hodnot (definičního oboru) přiřadí právě jedno y.y = 2x + 1: pro x = 3 je y = 7.
Lineární funkce y = kx + qFunkce, jejímž grafem je přímka. k a q jsou pevná čísla.y = −x + 4: k = −1, q = 4
Směrnice kO kolik se změní y, když se x zvětší o 1.y = 2x + 1: x o 1 víc → y o 2 víc.
Úsek qHodnota y pro x = 0 – tam přímka protne osu y.y = 3x − 4 protne osu y v bodě [0; −4].
Průsečík s osou xBod, kde přímka protne vodorovnou osu. Tam je y = 0.y = −x + 4 protne osu x v [4; 0].

Tabulka hodnot

x−1012
y = 2x + 1−1135

Všimni si: když x vzroste o 1, y vzroste vždy o 2. To je k. A pro x = 0 je y = 1. To je q.

Jak nakreslit graf

Vyber si dvě hodnoty x, třeba 0 a 2.
Dosaď do předpisu: y = 2 · 0 + 1 = 1, y = 2 · 2 + 1 = 5.
Zakresli body [0; 1] a [2; 5].
Spoj je pravítkem a prodluž – to je graf.

Zkontroluj si to ve widgetu: nastav k = 2 a q = 1 a najdi body [0; 1] a [2; 5].

Kde protne osu x přímka y = −x + 4?
Na ose x je y = 0. 0 = −x + 4 → x = 4. Bod [4; 0].
Přímka prochází body [0; 1] a [1; 3]. Jaký má předpis?
Pro x = 0 je y = 1 → q = 1. Když x vzroste o 1, y vzroste z 1 na 3, tedy o 2 → k = 2. y = 2x + 1.
✗y = −3x + 5 pro x = 2: −3 · 2 + 5 = −11
✓−6 + 5 = −1

Pozor na znaménka: −3 · 2 = −6 a −6 + 5 = −1.

y = kx + q. k = změna y při x o 1 víc (k > 0 roste, k < 0 klesá). q = průsečík s osou y. Na graf přímky stačí dva body.
🔗Soustavy dvou rovnic📉Nepřímá úměrnost jako funkce