📉 Nepřímá úměrnost jako funkce

Příběhem

O čem to je

Máš 12 bonbonů a dělíš je mezi děti. Jedno dítě dostane všech 12. Dvě děti po 6, tři po 4, čtyři po 3. Čím víc dětí, tím méně bonbonů pro každé.

Tohle je nepřímá úměrnost. Potkáš ji u rychlosti a času cesty, u počtu dělníků a délky práce, u ceny a počtu lidí, kteří se o ni dělí.

Nové pojmy

Nepřímá úměrnostVztah dvou veličin: kolikrát zvětšíš jednu, tolikrát se zmenší druhá.2krát víc dětí → každé dostane 2krát méně.
FunkcePravidlo, které každému číslu x přiřadí právě jedno číslo y.x = počet dětí, y = bonbony pro každé.
Předpis y = k/xZápis nepřímé úměrnosti. k je pevné číslo (tady počet všech bonbonů), x nesmí být 0.y = 12/x

Podívej se na sloupce

Každý sloupec ukazuje, kolik bonbonů dostane jedno dítě. Všimni si, jak rychle zpočátku klesají a pak už pomalu.

Ať je dětí kolik chce, platí: počet dětí · bonbony pro každé = 12. Součin x · y je pořád stejný. Podle toho nepřímou úměrnost poznáš.

y = 12/x. Kolik je y pro x = 4?
12 : 4 = 3. Čtyři děti, každé 3 bonbony.
Auto ujede 120 km za 2 h. Za jak dlouho ujede trasu poloviční rychlostí?
Poloviční rychlost → dvojnásobný čas. 2 · 2 = 4 h. (Rychlost · čas = 120 pořád.)

Jak vypadá graf

Když body [1; 12], [2; 6], [3; 4], [4; 3], [6; 2] zakreslíš do grafu, nevznikne přímka, ale zahnutá křivka – hyperbola. Blíží se k osám, ale nikdy se jich nedotkne: nula dětí ani nula bonbonů nedává smysl.

✗Graf y = 12/x prochází bodem [0; 0].
✓Pro x = 0 funkce není definovaná, graf osy neprotne.

Dělit nulou nejde. A y nikdy nemůže být 0, protože 12/x není nikdy nula.

Nepřímá úměrnost: y = k/x, součin x · y = k je stálý. Graf je hyperbola, která neprotne osy.

Hyperbola

O čem to je

Nepřímou úměrnost už znáš ze 7. třídy jako „kolikrát víc, tolikrát méně“. Teď se na ni podíváš jako na funkci: předpis, tabulka, graf a jeho vlastnosti.

Nové pojmy

Funkce y = k/xNepřímá úměrnost. k je číslo různé od nuly, x ≠ 0.y = 6/x, y = −4/x
Definiční oborVšechna x, která smíš do funkce dosadit. Tady všechna kromě 0.Do y = 6/x nelze dosadit x = 0.
KvadrantyČtyři čtvrtiny roviny, na které ji rozdělí osy x a y. I. vpravo nahoře, II. vlevo nahoře, III. vlevo dole, IV. vpravo dole (proti směru hodinových ručiček).Bod [2; 3] je v I. kvadrantu, [−2; −3] ve III.
HyperbolaGraf nepřímé úměrnosti: dvě oddělené zahnuté větve.Graf y = 1/x.

Tabulka

x−3−2−1123
y = 6/x−2−3−6632

Kontrola: x · y = 6 v každém sloupci. Pro kladná x jsou y kladná (I. kvadrant), pro záporná x záporná (III. kvadrant).

Vlastnosti

  • Graf je hyperbola – dvě větve.
  • k > 0: větve v I. a III. kvadrantu; pro x > 0 funkce klesá.
  • k < 0: větve ve II. a IV. kvadrantu.
  • Graf nikdy neprotne osy x ani y.

Postup úloh

Hledáš y? Dosaď x a vyděl: y = k : x.
Hledáš x? Platí x = k : y.
Hledáš k? Vynásob souřadnice libovolného bodu: k = x · y.
Bod [2; 9] leží na grafu y = k/x. Kolik je k?
k = x · y = 2 · 9 = 18.
y = −4/x. Kolik je y pro x = −2?
−4 : (−2) = 2 (mínus děleno mínus je plus).

Zkontroluj si tabulku pro y = 6/x na sloupcích (kladná x): s rostoucím x klesá y.

✗Tabulka x: 1, 2, 3 a y: 6, 4, 2 je nepřímá úměrnost, protože y klesá.
✓Není: 1 · 6 = 6, 2 · 4 = 8, 3 · 2 = 6 – součin není stálý.

Nestačí, že y klesá. U nepřímé úměrnosti musí být součin x · y pro všechny dvojice stejný.

y = k/x, x ≠ 0, x · y = k. Graf hyperbola: k > 0 v I. a III. kvadrantu, k < 0 ve II. a IV. Osy neprotne.
📈Funkce a lineární funkce🏹Kvadratická funkce