🏹 Kvadratická funkce

Hozený míč

O čem to je

Hoď míč šikmo vzhůru. Letí nahoru, zpomalí, v nejvyšším bodě se otočí a padá dolů. Jeho dráha je oblouk. Stejný tvar má proud vody z fontány nebo lano mostu.

Ten oblouk se jmenuje parabola a popisuje ho kvadratická funkce. Pomocí ní inženýři počítají dráhy, tvary antén i zisk firem.

Nové pojmy

FunkcePravidlo, které každému x přiřadí právě jedno y.y = x²: pro x = 3 je y = 9.
Kvadratická funkceFunkce, ve které je x na druhou (x²). Obecně y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0.y = x², y = −x² + 4, y = 2x² − x
ParabolaGraf kvadratické funkce – souměrný oblouk.Dráha hozeného míče.
Vrchol parabolyNejvyšší nebo nejnižší bod oblouku – kde se graf „otočí“.Nejvyšší bod letu míče.

Vyzkoušej si to

Graf ukazuje y = −x² + 4. Posouvej a: kladné a dá „úsměv“ ∪ (otevřený nahoru), záporné „mračouna“ ∩ (dolů). Posouvej c: celá parabola jezdí nahoru a dolů.

Proč je to oblouk

Vezmi y = x². Pro x = 2 je y = 4, ale pro x = −2 taky 4, protože (−2)² = 4. Kladná i záporná x dají stejné y. Proto je parabola souměrná podle svislé osy a v nule má vrchol.

y = x². Kolik je y pro x = −3?
(−3)² = (−3) · (−3) = 9.
Kde je vrchol paraboly y = x² + 2?
x² je nejmenší pro x = 0 (je 0). Pak y = 0 + 2 = 2. Vrchol [0; 2] – parabola y = x² posunutá o 2 nahoru.
✗y = 3x + 2 je kvadratická funkce.
✓Je lineární, graf je přímka.

Kvadratická funkce musí obsahovat x² (s a ≠ 0). Bez druhé mocniny není oblouk.

Kvadratická funkce y = ax² + bx + c (a ≠ 0) má graf parabolu. a > 0 otevřená nahoru, a < 0 dolů. Vrchol je bod otočení.

Tabulka

O čem to je

Parabolu nakreslíš z tabulky hodnot. Pak uvidíš, jak čísla v předpisu mění tvar a polohu grafu – a budeš umět najít vrchol i průsečíky s osou x.

Nové pojmy

Kvadratická funkcey = ax² + bx + c, kde a, b, c jsou čísla a a ≠ 0.y = x² − 4: a = 1, b = 0, c = −4
Parabola a vrcholParabola je graf kvadratické funkce. Vrchol je její nejnižší (nebo nejvyšší) bod.y = x² má vrchol [0; 0].
Osa souměrnostiSvislá přímka vrcholem. Graf je podle ní zrcadlově stejný.U y = x² je to osa y.
Průsečík s osou xBod, kde graf protne vodorovnou osu, tedy kde y = 0.y = x² − 9 protne osu x v x = 3 a x = −3.

Tabulka pro y = x²

x−2−1012
y = x²41014
Vyber několik x kolem nuly (−2 až 2).
Dosaď do předpisu a spočítej y.
Zakresli body do grafu.
Spoj je plynulým obloukem (ne rovnými čarami).

Jak čísla mění graf

  • y = x² + c: posun o c nahoru (c > 0) nebo dolů (c < 0). Vrchol [0; c].
  • a > 0: otevřená nahoru, vrchol je nejnižší bod. a < 0: otevřená dolů.
  • Čím větší |a|, tím je parabola užší.

Graf je y = x² − 4. Najdi, kde protíná osu x. Pak změň c a sleduj posun.

Kde protne parabola y = x² − 9 osu x (kladný průsečík)?
y = 0: x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = 3 nebo x = −3. Kladný: x = 3.
Jaká je nejmenší hodnota funkce y = x² + 5?
x² je vždy aspoň 0, nejmenší pro x = 0. Pak y = 5.
✗y = 2x² pro x = 3: (2 · 3)² = 36
✓2 · 3² = 2 · 9 = 18

Na druhou se umocňuje jen x, ne dvojka. Mocnina má přednost před násobením.

y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Graf parabola souměrná podle svislé osy vrcholem. c posouvá nahoru/dolů, znaménko a určuje směr otevření.
📉Nepřímá úměrnost jako funkce🔎Podobnost