⚽ Koule

Míč a pomeranč

O čem to je

Míč, pomeranč, kulička, planeta Země. Koule je nejdokonalejší těleso – ze středu je to ke kterémukoli místu na povrchu stejně daleko.

Kolik vzduchu je v míči? Kolik kůže je potřeba na jeho ušití? Na to existují dva krásné vzorce.

Nové pojmy

Střed a poloměr rStřed je bod uprostřed koule. Poloměr je vzdálenost ze středu na povrch. Průměr d = 2r.Míč s průměrem 12 cm má r = 6 cm.
Kulová plochaJen povrch koule – „slupka“. Body ve vzdálenosti přesně r od středu.Kůže míče.
KouleKulová plocha i celý vnitřek. Body ve vzdálenosti nejvýš r od středu.Plná kulička z oceli.
π (pí)Číslo asi 3,14. Obsah kruhu je π · r².Kruh s r = 5: 3,14 · 25 = 78,5

Pokus s pomerančem

Rozkroj pomeranč napůl a obkresli řez na papír 4krát – vzniknou 4 kruhy s poloměrem pomeranče.
Oloupej pomeranč.
Slupkou vyplňuj nakreslené kruhy.
Slupka vyplní přibližně právě 4 kruhy.

Proto povrch koule = 4 kruhy = 4πr². Měň poloměr kruhu a sleduj obsah – povrch koule je čtyřikrát tolik.

Objem

Objem koule je V = 4/3 · π · r³ (r³ = r · r · r). Odvodit ho umí až vyšší matematika, ale dá se ověřit: koule se vejde do krychle se stranou 2r a zabere asi polovinu jejího objemu.

Míček má r = 1 cm. Povrch?
S = 4 · 3,14 · 1 · 1 = 12,56 cm².
Koule s r = 1 dm. Kolik litrů se do ní vejde?
V = 4/3 · 3,14 · 1 ≐ 4,19 dm³ = asi 4,19 l.
✗Kulová plocha a koule jsou totéž.
✓Kulová plocha je jen povrch, koule i vnitřek.

Stejně jako kružnice (čára) a kruh (čára i plocha).

Povrch koule = 4 kruhy: S = 4πr². Objem V = 4/3 · πr³.

Vzorce

O čem to je

Pro kouli stačí dva vzorce a pozor na jednu věc: v povrchu je r na druhou, v objemu na třetí. Z toho plyne, jak rychle roste objem s velikostí koule.

Nové pojmy

Koule a kulová plochaKoule = všechny body ve vzdálenosti nejvýš r od středu. Kulová plocha = body ve vzdálenosti přesně r (jen povrch).Plná kulička × bublina.
r² a r³r² = r · r (druhá mocnina), r³ = r · r · r (třetí mocnina).r = 3: r² = 9, r³ = 27
Řez koulePlocha, která vznikne rozříznutím koule rovinou. Je to vždy kruh.Rozkrojený pomeranč.

Vzorce

covzorecjednotka
povrchS = 4πr²cm²
objemV = 4/3 · πr³cm³
Zjisti poloměr (z průměru: r = d : 2).
Povrch: 4 · 3,14 · r · r.
Objem: 4 · 3,14 · r · r · r : 3.
Připiš jednotky.
Koule r = 3 cm. Objem?
r³ = 27. V = 4/3 · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm³.
Koule r = 10 cm. Povrch?
S = 4 · 3,14 · 100 = 1 256 cm².

Co se stane při zvětšení

  • Dvojnásobný poloměr → povrch 2² = 4krát větší.
  • Dvojnásobný poloměr → objem 2³ = 8krát větší.

Procvič si – otoč kartičku.

  • povrch koule – S = 4πr²
  • objem koule – V = 4/3 · πr³
  • r · 2 → objem – 8krát větší
  • průměr 12 cm → r – 6 cm
✗Průměr 12 cm, dosadím r = 12.
✓r = 12 : 2 = 6 cm.

Vzorce pracují s poloměrem. S průměrem by vyšel objem 8krát větší.

S = 4πr², V = 4/3 · πr³. Povrch s r², objem s r³.
🔺Jehlan a kužel🏦Finanční matematika