🔺 Jehlan a kužel

Přesýpání

O čem to je

Egyptské pyramidy, střecha věže, kornout zmrzliny, indiánský stan. Všechno jsou tělesa, která se zužují do jedné špičky. Jmenují se jehlan a kužel.

Kolik zmrzliny se vejde do kornoutu? Kolik kamene je v pyramidě? Odpověď je překvapivě jednoduchá – třetina.

Nové pojmy

JehlanTěleso s mnohoúhelníkovou podstavou (trojúhelník, čtverec…), jehož boční stěny jsou trojúhelníky sbíhající se do jednoho vrcholu.Pyramida – podstava čtverec, 4 trojúhelníkové stěny.
KuželTěleso s kruhovou podstavou, které se plynule zužuje do jednoho vrcholu.Kornout, dopravní kužel.
Podstava a výškaPodstava je spodní stěna. Výška v je kolmá vzdálenost vrcholu od podstavy – rovně dolů, ne po šikmé stěně.Výška pyramidy = od špičky kolmo k zemi.
Hranol a válec – připomenutíHranol má dvě stejné podstavy a rovné boky, válec dvě kruhové podstavy. Objem obou = obsah podstavy · výška.Krabice, plechovka.

Pokus s pískem

Vezmi dutý jehlan a hranol se stejnou podstavou a výškou.
Naplň jehlan pískem a přesyp ho do hranolu.
Opakuj, dokud není hranol plný.
Potřebuješ přesně 3 jehlany.

Stejně 3 kužely naplní válec se stejnou podstavou a výškou. Proto: objem jehlanu (kuželu) = třetina objemu hranolu (válce).

Jehlan má podstavu čtverec 6 × 6 cm a výšku 5 cm. Objem?
Hranol by měl 36 · 5 = 180 cm³. Jehlan třetinu: 180 : 3 = 60 cm³.
Válec má objem 300 cm³. Kolik má kužel se stejnou podstavou a výškou?
300 : 3 = 100 cm³.

Povrch

Povrch = podstava + plášť. U jehlanu je plášť několik trojúhelníků (čtyřboký jehlan má 4 + podstavu = 5 stěn). Plášť kuželu po rozvinutí vypadá jako kus pizzy – kruhová výseč.

✗Boční stěny jehlanu jsou obdélníky.
✓Jsou to trojúhelníky.

Všechny boční hrany se sbíhají do jednoho vrcholu, proto každá boční stěna končí špičkou.

Jehlan a kužel mají třetinový objem hranolu a válce se stejnou podstavou a výškou: V = ⅓ · Sp · v.

Vzorce

O čem to je

K výpočtům jehlanu a kuželu potřebuješ vzorce a jeden starý známý – Pythagorovu větu. Ta spojuje výšku, poloměr a šikmou stranu kuželu.

Nové pojmy

Sp a SplSp = obsah podstavy, Spl = obsah pláště (všech bočních stěn).Podstava kuželu s r = 3: Sp = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Poloměr r a výška vr = poloměr kruhové podstavy kuželu, v = kolmá vzdálenost vrcholu od podstavy.r = 3 cm, v = 4 cm
Strana kuželu sÚsečka z vrcholu na okraj podstavy – po šikmém plášti.r = 3, v = 4 → s = 5
Pythagorova větaV pravoúhlém trojúhelníku: přepona² = odvěsna² + odvěsna².5² = 3² + 4²

Vzorce

tělesoobjempovrch
jehlanV = ⅓ · Sp · vS = Sp + Spl
kuželV = ⅓ · πr² · vS = πr² + πrs

Pythagoras v kuželu

Rozřízni kužel svisle vrcholem. Výška v, poloměr r a strana s tvoří pravoúhlý trojúhelník; s je přepona. Proto s² = r² + v². Vyzkoušej: odvěsny 3 a 4.

Postup pro kužel

Zapiš r a v (nebo s).
Chybí-li s nebo v, dopočítej je Pythagorovou větou.
Objem: 3,14 · r² · v : 3.
Plášť: 3,14 · r · s.
Povrch: podstava 3,14 · r² + plášť.
Kužel r = 3 cm, v = 4 cm. Strana, objem a plášť?
s = √(9 + 16) = 5 cm. V = 3,14 · 9 · 4 : 3 = 37,68 cm³. Spl = 3,14 · 3 · 5 = 47,1 cm².
Jehlan: Sp = 24 cm², v = 10 cm. Objem?
V = 24 · 10 : 3 = 80 cm³.
✗V kuželu = πr² · v (zapomenutá třetina).
✓V = ⅓ · πr² · v

To bez třetiny je objem válce. Kužel se vejde do válce třikrát.

V = ⅓ · Sp · v. Kužel: S = πr² + πrs. Výšku, stranu a poloměr kuželu spojuje s² = r² + v².
🔎Podobnost⚽Koule