🔤 Výrazy s proměnnou

Krabičky

O čem to je

Na stole jsou 3 zavřené krabičky bonbonů a vedle 2 volné bonbony. Ve všech krabičkách je stejně bonbonů, ale nevíš kolik. Jak zapíšeš, kolik bonbonů je na stole celkem?

Neznámý počet označíš písmenem, třeba x. Celkem je to 3x + 2. Takový zápis je výraz s proměnnou. Používají se ve vzorcích, v tabulkách v počítači i v programování.

Nové pojmy

ProměnnáPísmeno, které zastupuje číslo. To číslo se může měnit nebo ho zatím neznáme.x = počet bonbonů v jedné krabičce.
VýrazZápis z čísel, proměnných a početních znamének. Nemá v sobě rovnítko.3x + 2, 2a − b, 5
3xZnamená 3 · x. Znak krát mezi číslem a písmenem se nepíše.3x = x + x + x (tři krabičky)

Dosazení: otevři krabičky

Otevřeš krabičku a zjistíš, že v ní je 5 bonbonů. Teď víš, že x = 5. Dosadíš: 3 · 5 + 2 = 17 bonbonů.

Kolik je 2x + 5, když x = 4?
Místo x napiš 4: 2 · 4 + 5 = 8 + 5 = 13.

Sčítání: jen stejné věci

2 krabičky + 3 krabičky = 5 krabiček: 2x + 3x = 5x. Ale 2 krabičky + 3 bonbony? To jsou různé věci. 2x + 3 už nejde zjednodušit.

Stejně jablka a hrušky: 2a + 3h + a = 3a + 3h. Sečteš jablka s jablky, hrušky zvlášť.

Zjednoduš 4a + 3b − a + 2b.
Jablka: 4a − a = 3a. Hrušky: 3b + 2b = 5b. Výsledek 3a + 5b.

Závorka: balíček

3 balíčky, v každém je 1 krabička a 2 bonbony: 3(x + 2). Celkem máš 3 krabičky a 6 bonbonů: 3x + 6. Číslo před závorkou násobí všechno uvnitř.

✗2x + 3y = 5xy
✓2x + 3y nejde zjednodušit.

x a y jsou různé věci – jako jablka a hrušky. Sčítat lze jen členy se stejným písmenem.

Písmeno zastupuje číslo. Dosadit = napsat číslo místo písmene. Sčítat jdou jen stejné věci: 2x + 3x = 5x, ale 2x + 3 zůstane.

Pravidla

O čem to je

Obvod obdélníku je a + b + a + b. Kratší je napsat 2a + 2b nebo 2(a + b). Úpravy výrazů = přepisování do jednodušší podoby, aniž by se změnila hodnota.

Bez toho nevyřešíš rovnice – a ty jsou v 8. a 9. třídě všude.

Nové pojmy

ProměnnáPísmeno (x, a, n…), za které můžeš dosadit číslo.V 2n + 3 je proměnná n.
VýrazZápis z čísel, proměnných, znamének a závorek – bez rovnítka.4a + 3b − a + 2b
ČlenČást výrazu oddělená znaménkem + nebo −. Znaménko před členem k němu patří.Ve 4a + 3b − a jsou členy 4a, 3b a −a.
KoeficientČíslo před proměnnou. Když tam žádné není, je to 1.Ve 4a je koeficient 4, v −a je −1.
Hodnota výrazuČíslo, které vyjde po dosazení čísel za proměnné.Hodnota 2x + 1 pro x = 3 je 7.

Čtyři pravidla

  • Dosazení: za proměnnou napiš číslo, záporné do závorky. a² − 3a pro a = −2: (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10.
  • Sčítání: sečti koeficienty členů se stejnou proměnnou. 5x + 2x − 3x = 4x.
  • Roznásobení závorky: číslo před závorkou vynásob každým členem uvnitř. 3(2a − 1) = 6a − 3.
  • Mínus před závorkou: změní znaménko všech členů v ní. −(x − 7) = −x + 7.

Postup zjednodušení

Odstraň závorky (roznásob).
Najdi členy se stejnou proměnnou a podtrhni je stejnou barvou.
Sečti jejich koeficienty.
Napiš výsledek, čísla bez proměnné nakonec.
Zjednoduš 2(x + 4) − 3x.
Roznásob: 2x + 8 − 3x. Sečti x: 2x − 3x = −x. Výsledek −x + 8.
Zapiš výrazem: „o 3 větší než dvojnásobek čísla n“.
Dvojnásobek n je 2n. O 3 větší: 2n + 3.

Pozor na rozdíl: x · x = x² (x na druhou), ale x + x = 2x.

Procvič si: otoč kartičku a zkontroluj úpravu.

  • 5x + 2x − 3x – 4x
  • 3(2a − 1) – 6a − 3
  • −(x − 7) – −x + 7
  • x · x – x²
✗3(x + 2) = 3x + 2
✓3(x + 2) = 3x + 6

Číslo před závorkou násobí každý člen v ní – i tu dvojku.

Sčítej jen členy se stejnou proměnnou. Číslo před závorkou násobí každý člen. Mínus před závorkou otočí všechna znaménka.
🚀Mocniny s přirozeným exponentem🧱Mnohočleny a vzorce