🚀 Mocniny s přirozeným exponentem

Zdvojování

O čem to je

Bakterie se každou hodinu rozdělí na dvě. Z jedné jsou za hodinu 2, pak 4, 8, 16… Za den by jich bylo přes 16 milionů! Psát 2 · 2 · 2 · … čtyřiadvacetkrát je otrava.

Proto existuje zkratka – mocnina. Hodí se pro rychle rostoucí věci, pro obří čísla (vzdálenosti ve vesmíru) i pro drobná čísla (velikost atomů).

Nové pojmy

MocninaZkrácený zápis násobení stejného čísla několikrát za sebou.2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵ („dvě na pátou“) = 32
ZákladČíslo, které se násobí. Píše se velké dole.Ve 2⁵ je základ 2.
ExponentMalé číslo nahoře. Říká, kolikrát se základ násobí.Ve 2⁵ je exponent 5.

Jak rychle to roste

Podívej se na sloupce: každý je dvakrát vyšší než předchozí. Takhle rychlému růstu se říká exponenciální.

10⁵ = ?
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000. U desítky stačí napsat jedničku a tolik nul, kolik je exponent.
(−2)³ = ?
(−2) · (−2) · (−2). První dvě dají +4, krát −2 je −8. Lichý počet mínusů → výsledek záporný.

Proč platí pravidla

2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = pět dvojek = 2⁵. Při násobení stejných základů se exponenty sčítají: 3 + 2 = 5.

5⁶ : 5⁴ – šest pětek nahoře, čtyři dole, čtyři se zkrátí, zbydou dvě: 5². Při dělení se exponenty odčítají.

A 7⁰? Když vydělíš 7² : 7², vyjde 1. Podle pravidla je to 7²⁻² = 7⁰. Proto cokoli (kromě nuly) na nultou je 1.

✗2³ = 6 (2 · 3)
✓2³ = 2 · 2 · 2 = 8

Exponent neříká „krát kolik“, ale „kolikrát se základ násobí sám sebou“.

aⁿ = a · a · … · a (n-krát). a je základ, n exponent. Stejný základ: násobím → exponenty sčítám, dělím → odčítám.

Pravidla

O čem to je

S mocninami se dá počítat chytře, bez rozepisování. Stačí čtyři pravidla. Využiješ je v algebře, ve fyzice i při zápisu velkých čísel.

Nové pojmy

Mocnina aⁿa násobené samo sebou n-krát.3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Základ a exponentV zápisu aⁿ je a základ (co násobím) a n exponent (kolikrát).V 5³ je základ 5, exponent 3.
Přirozené čísloČíslo 1, 2, 3, 4… – čísla, kterými počítáme kusy.Exponenty v tomto tématu jsou přirozená čísla.
ProměnnáPísmeno, které zastupuje nějaké číslo.a³ · a⁴ platí pro jakékoli číslo a.

Čtyři pravidla

pravidloslovypříklad
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿnásobím → sčítám exponenty2³ · 2² = 2⁵
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿdělím → odčítám exponenty5⁶ : 5⁴ = 5²
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿmocnina mocniny → násobím exponenty(3²)³ = 3⁶
a⁰ = 1na nultou je vždy 1 (a ≠ 0)7⁰ = 1

Pozor: pravidla fungují jen pro stejný základ. 2³ · 3² se takhle zjednodušit nedá.

Postup

Zkontroluj, že mají mocniny stejný základ.
Rozhodni, jaká operace mezi nimi je (·, :, závorka).
Podle tabulky uprav exponenty.
Případně spočítej hodnotu.
7⁸ : 7⁶ = ?
Stejný základ, dělení → odčítám: 7⁸⁻⁶ = 7² = 49.
(x²)⁵ = ?
Mocnina mocniny → násobím: x²·⁵ = x¹⁰.
0,1³ = ?
0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001 (tři desetinná místa).

Mocniny deseti a zápis čísla

Každé číslo jde rozepsat na tisíce, stovky, desítky a jednotky: 3 450 = 3 · 10³ + 4 · 10² + 5 · 10 + 0. Tomu se říká zápis v desítkové soustavě.

Procvič hodnoty mocnin – otoč kartičku.

  • 3³ – 27
  • 5³ – 125
  • 2⁶ – 64
  • 10³ – 1 000
  • 5⁰ – 1
✗a³ · a⁴ = a¹²
✓a³ · a⁴ = a⁷

Při násobení mocnin se exponenty sčítají (3 + 4). Násobí se jen u mocniny mocniny: (a³)⁴ = a¹².

Stejný základ: násobení → sčítám exponenty, dělení → odčítám, mocnina mocniny → násobím. a⁰ = 1.
📐Pythagorova věta🔤Výrazy s proměnnou