📐 Pythagorova věta

Čtverce na stranách

O čem to je

Opíráš žebřík o zeď. Jak vysoko dosáhne? Jak dlouhá je úhlopříčka televize? Jak daleko je to přes park šikmo, místo kolem dokola?

Všechno to jsou otázky na pravoúhlý trojúhelník. Už před 2 500 lety si řecký matematik Pythagoras (a před ním třeba Babyloňané) všimli úžasného pravidla, které o něm platí vždycky.

Nové pojmy

Pravoúhlý trojúhelníkTrojúhelník, který má jeden pravý úhel (90°, jako roh sešitu).Zeď, zem a opřený žebřík tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Odvěsny (a, b)Dvě strany, které svírají pravý úhel – „odvěsí“ se z rohu.U žebříku: výška na zdi a vzdálenost paty od zdi.
Přepona (c)Strana naproti pravému úhlu. Je vždy nejdelší.U žebříku je přeponou sám žebřík.
Druhá mocninaČíslo krát samo sebe = obsah čtverce s takovou stranou. Píše se ².3² = 9 (čtverec 3 × 3 má 9 políček).

Čtverce na stranách

Na každou stranu trojúhelníku postav čtverec. U trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5 mají čtverce 9, 16 a 25 políček. A hle: 9 + 16 = 25!

Měň délky odvěsen posuvníky. Pokaždé sečti obsahy dvou menších čtverců a porovnej s velkým. Vždy to sedí.

Tohle je Pythagorova věta: dva malé čtverce (nad odvěsnami) mají dohromady stejný obsah jako velký čtverec nad přeponou. Zapisuje se c² = a² + b².

Odvěsny jsou 6 cm a 8 cm. Jak dlouhá je přepona?
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Hledám číslo, které na druhou dá 100 (odmocnina): c = 10 cm.
Je trojúhelník 5, 12, 13 pravoúhlý?
Nejdelší je 13. Platí 5² + 12² = 13²? 25 + 144 = 169 a 13² = 169. Ano.
✗Odvěsny 3 a 4 → přepona 3 + 4 = 7.
✓c² = 9 + 16 = 25, c = 5.

Sčítají se čtverce (druhé mocniny), ne samotné délky. A přepona je vždy kratší než součet odvěsen – jinak by trojúhelník nešel složit.

V pravoúhlém trojúhelníku: c² = a² + b² (c je přepona, naproti pravému úhlu). Platí jen pro pravoúhlé trojúhelníky.

Krok za krokem

O čem to je

Pythagorova věta je nejčastěji používaný vzorec geometrie. Umožní spočítat třetí stranu pravoúhlého trojúhelníku, když znáš dvě. Tady je postup, jak na to – ať hledáš kteroukoli stranu.

Nové pojmy

Přepona cNejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku, leží naproti pravému úhlu (90°).V trojúhelníku 6, 8, 10 je přepona 10.
Odvěsny a, bDvě kratší strany, které spolu svírají pravý úhel.6 a 8
Druhá mocnina a odmocninaa² = a · a. Odmocnina √ je opak: √25 = 5, protože 5² = 25.√144 = 12
Pythagorova větaV každém pravoúhlém trojúhelníku platí c² = a² + b².5² = 3² + 4², tedy 25 = 9 + 16.

Který vzorec použít

hledámvzorecslovy
přeponu cc = √(a² + b²)sečti čtverce odvěsen, odmocni
odvěsnu aa = √(c² − b²)od čtverce přepony odečti čtverec druhé odvěsny, odmocni

Postup

Nakresli náčrt a vyznač pravý úhel.
Najdi přeponu – stranu naproti pravému úhlu.
Rozhodni, jestli hledáš přeponu (sčítáš) nebo odvěsnu (odčítáš).
Dosaď druhé mocniny a spočítej.
Odmocni.
Zkontroluj: přepona musí vyjít nejdelší.
Žebřík dlouhý 5 m stojí patou 3 m od zdi. Do jaké výšky sahá?
Žebřík je přepona: c = 5. Pata od zdi je odvěsna a = 3. Hledám odvěsnu b: b² = 25 − 9 = 16, b = √16 = 4 m.
Obdélník má strany 8 cm a 6 cm. Jak dlouhá je úhlopříčka?
Úhlopříčka rozdělí obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky a je jejich přeponou. c² = 64 + 36 = 100, c = 10 cm.
Úhlopříčka čtverce se stranou 1 m?
c² = 1 + 1 = 2, c = √2 ≐ 1,41 m. Tahle odmocnina nevyjde přesně, proto zaokrouhlujeme.

Vyzkoušej si: nastav odvěsny 6 a 8 a ověř, že přepona je 10.

✗Hledám odvěsnu: a = √(c² + b²)
✓a = √(c² − b²)

Odvěsna je kratší než přepona, takže musíš odčítat. Kdybys sčítal, vyšla by delší než přepona.

Přepona: sečti čtverce odvěsen a odmocni. Odvěsna: od čtverce přepony odečti čtverec druhé odvěsny a odmocni.
🟩Druhá mocnina a odmocnina🚀Mocniny s přirozeným exponentem