🟩 Druhá mocnina a odmocnina

Čtverečky

O čem to je

Chceš vydláždit čtvercovou terasu 4 × 4 metry. Kolik dlaždic 1 × 1 m potřebuješ? 4 · 4 = 16. A obráceně: máš 16 dlaždic a chceš z nich čtverec – jak dlouhá bude strana?

Na první otázku odpovídá druhá mocnina, na druhou odmocnina. Budeš je potřebovat u obsahů, v Pythagorově větě i ve fyzice.

Nové pojmy

Druhá mocninaČíslo vynásobené samo sebou. Píše se s malou dvojkou nahoře: 4² („čtyři na druhou“).4² = 4 · 4 = 16
Druhá odmocninaOpak druhé mocniny. Hledá nezáporné číslo, které když vynásobíš samo sebou, dostaneš dané číslo. Znak √.√16 = 4, protože 4 · 4 = 16.

Mocnina = obsah čtverce

Čtverec se stranou 4 má 4 řady po 4 políčkách. Nastav obě strany stejně: 3 × 3, 5 × 5, 7 × 7. Kolik políček vidíš?

3 × 3 = 9, 5 × 5 = 25, 7 × 7 = 49. To jsou druhé mocniny 3, 5 a 7. Proto se jim anglicky říká „square“ – čtverec.

Odmocnina = strana čtverce

Čtverec má obsah 64 cm². Hledám stranu: které číslo krát samo sebe dá 64? 8 · 8 = 64. Strana je √64 = 8 cm.

Mezi kterými celými čísly leží √50?
7² = 49 a 8² = 64. 50 leží mezi 49 a 64, takže √50 leží mezi 7 a 8 (velmi blízko 7).
(−3)² = ?
(−3) · (−3). Mínus krát mínus je plus: 9. Druhá mocnina nikdy není záporná.
✗√(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7
✓√(9 + 16) = √25 = 5

Odmocnina se z součtu po kouscích brát nesmí. Nejdřív sečti, pak odmocni. (U součinu to jde: √(4 · 9) = √4 · √9 = 6.)

Proč nejde odmocnit záporné číslo? Žádné číslo krát samo sebe nedá zápornou hodnotu: kladné · kladné je kladné a záporné · záporné taky. Proto √(−4) mezi běžnými čísly neexistuje.

a² = a · a = obsah čtverce se stranou a. √b = strana čtverce s obsahem b. Odmocnina ze záporného čísla neexistuje.

Tabulka a pravidla

O čem to je

Druhé mocniny malých čísel se vyplatí znát nazpaměť – jako malou násobilku. Pak spočítáš odmocninu za vteřinu a odhadneš i tu, která nevyjde přesně.

Nové pojmy

Druhá mocnina a²a · a. Malé číslo 2 nahoře se jmenuje exponent.12² = 12 · 12 = 144
Druhá odmocnina √bNezáporné číslo, jehož druhá mocnina je b.√144 = 12
Nezáporné čísloKladné číslo nebo nula (tedy ne záporné).0, 3, 7,5 jsou nezáporná, −2 není.

Tabulka mocnin

a123456789101112
a²149162536496481100121144

Čti tabulku oběma směry: zdola nahoru je odmocnina. √81 = 9, √121 = 11.

Pravidla

  • Záporné číslo na druhou je kladné: (−5)² = (−5) · (−5) = 25.
  • Pozor na závorku: −4² = −(4 · 4) = −16. Umocňuje se jen 4, mínus zůstane.
  • Desetinná čísla: počet desetinných míst se zdvojí. 0,3² = 0,09, 0,2² = 0,04.
  • Desítky: nuly se zdvojí. 30² = 900, 20² = 400.
  • Odmocnina desetinného čísla: √0,49 = 0,7, protože 0,7 · 0,7 = 0,49.

Postup odmocnění

Najdi v tabulce číslo pod odmocninou: √1,44 → „144“.
Odmocni bez čárky: √144 = 12.
Číslo 1,44 má 2 desetinná místa, výsledek bude mít polovinu – 1 místo.
Výsledek: √1,44 = 1,2. Kontrola: 1,2 · 1,2 = 1,44 ✓
13² = ?
13 · 13 = 130 + 39 = 169.
Čtverec má obsah 64 cm². Jak dlouhá je strana?
Strana a splňuje a² = 64. a = √64 = 8 cm.

Procvič si tabulku: otoč kartičku.

  • 7² – 49
  • √81 – 9
  • 0,2² – 0,04
  • √1,44 – 1,2
  • (−5)² – 25
✗0,3² = 0,9
✓0,3² = 0,09

0,3 · 0,3: 3 · 3 = 9 a desetinná místa se sečtou 1 + 1 = 2. Proto 0,09.

a² = a · a, vždy nezáporné. √b je nezáporné číslo, které na druhou dá b. √(a²) = a pro a ≥ 0. Odmocnina ze záporného čísla neexistuje.
📐Pythagorova věta