🧱 Mnohočleny a vzorce

Obdélníky

O čem to je

Máš čtvercovou zahradu se stranou a. Zvětšíš ji na každou stranu o b metrů. Jakou bude mít plochu? Mnoho lidí řekne a² + b² – a je to chyba. Obrázek ukáže proč.

Naučíš se násobit výrazy se závorkami a poznáš tři vzorce, které ušetří spoustu počítání.

Nové pojmy

ProměnnáPísmeno, které zastupuje číslo.a, b, x
ČlenČást výrazu mezi znaménky + a −.Ve výrazu a² + 2ab + b² jsou tři členy.
MnohočlenVýraz, který je součtem několika členů. Dvojčlen má dva členy, trojčlen tři.a + b je dvojčlen, x² + 5x + 6 je trojčlen.
RoznásobitOdstranit závorky tak, že vynásobíš každý člen.3(x + 2) = 3x + 6

Obsah zvětšeného čtverce

Velký čtverec má stranu a + b. Rozděl ho čarami na 4 části:

  • čtverec a × a → obsah a²
  • čtverec b × b → obsah b²
  • dva obdélníky a × b → obsah 2ab

Proto (a + b)² = a² + 2ab + b². Vyzkoušej si: čtverec 5 × 5 si rozděl na 3 + 2. Obsah 25 = 9 + 4 + 2 · 6.

Obdélník se závorkami

Obdélník (x + 2) × (x + 3) rozdělíš na 4 kusy: x · x, x · 3, 2 · x a 2 · 3. Dohromady x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Každý kus první strany „potká“ každý kus druhé.

(x + 3)² = ?
Podle čtverce: x² + 2 · 3 · x + 3² = x² + 6x + 9.
Spočítej chytře 21² − 19².
Platí další vzorec: (a + b)(a − b) = a² − b² (roznásob a prostřední členy se odečtou). Tedy 21² − 19² = (21 + 19)(21 − 19) = 40 · 2 = 80. (Ověření: 441 − 361 = 80.)
✗(a + b)² = a² + b²
✓(a + b)² = a² + 2ab + b²

Zapomněl jsi na dva obdélníky ab. Zkus a = 3, b = 2: (3 + 2)² = 25, ale 9 + 4 = 13.

A obráceně: vytýkání

Někdy chceš závorku zase vytvořit: 6x + 9 = 3(2x + 3). Najdeš číslo, které dělí všechny členy, a „vytáhneš“ ho před závorku.

(a + b)² = a² + 2ab + b² – nezapomeň na 2ab! Závorka krát závorka: každý člen s každým.

Vzorce

O čem to je

V algebře se pořád dokola násobí závorky. Tři případy jsou tak časté, že mají vlastní vzorce. Kdo je zná, počítá rychle a bez chyb – a umí i opačný krok: rozložit výraz na součin.

Nové pojmy

MnohočlenSoučet několika členů s proměnnými a čísly.3x² + 2x − 5
ČlenJedna část mnohočlenu, oddělená + nebo −. Znaménko k němu patří.Ve 3x² + 2x − 5 jsou členy 3x², 2x a −5.
Stupeň mnohočlenuNejvyšší exponent proměnné, který se v mnohočlenu vyskytuje.x² + 2x je druhého stupně, 4x − 1 prvního.
Podobné členyČleny se stejnou proměnnou ve stejné mocnině. Jen ty se dají sečíst.3x² a −x² jsou podobné: dohromady 2x².
VytýkáníOpak roznásobení: společný činitel všech členů napíšeš před závorku.4x + 12 = 4(x + 3)

Násobení

  • Člen · člen: čísla vynásob, mocniny stejné proměnné sečti v exponentu. 2x · 3x² = 6x³.
  • Člen · závorka: násob každý člen. 2x(x − 4) = 2x² − 8x.
  • Závorka · závorka: každý s každým, pak sečti podobné členy.
(x + 2)(x + 5)
x · x = x²
x · 5 = 5x
2 · x = 2x
2 · 5 = 10
Sečti: x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10

Tři vzorce

vzorecrozepsánopříklad
(a + b)²a² + 2ab + b²(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)²a² − 2ab + b²(a − 5)² = a² − 10a + 25
(a + b)(a − b)a² − b²(y + 4)(y − 4) = y² − 16
Odečti (3x² + 2x) − (x² − 4x).
Mínus před druhou závorkou otočí znaménka: 3x² + 2x − x² + 4x. Podobné členy: 2x² + 6x.
Rozlož x² − 9 na součin.
x² − 9 = x² − 3² – to je rozdíl čtverců. Podle třetího vzorce: (x − 3)(x + 3).
Vytkni 4x + 12.
Oba členy dělí 4: 4x = 4 · x, 12 = 4 · 3. Výsledek 4(x + 3). Kontrola roznásobením ✓.

Procvič vzorce: otoč kartičku.

  • (a + b)² – a² + 2ab + b²
  • (a − b)² – a² − 2ab + b²
  • (a + b)(a − b) – a² − b²
  • 6x + 9 vytknuto – 3(2x + 3)
✗(a − 5)² = a² − 25
✓(a − 5)² = a² − 10a + 25

Na druhou se umocňuje celá závorka: (a − 5)(a − 5). Chybí prostřední člen −2 · 5 · a a poslední je (−5)² = +25.

Závorka · závorka: každý člen s každým. (a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b². Vytýkání je opak roznásobení.
🔤Výrazy s proměnnou⚖️Lineární rovnice