⚖️ Lineární rovnice

Váhy

O čem to je

„Myslím si číslo. Když ho zdvojnásobím a přičtu 5, dostanu 31.“ Jaké číslo? Takové hádanky se dají řešit zkoušením – nebo jistě a rychle pomocí rovnice.

Rovnice pomáhají spočítat, kolik stojí jeden lístek, kolik je komu let nebo kdy se dva cyklisté potkají.

Nové pojmy

NeznámáČíslo, které hledáme. Označujeme ho písmenem, nejčastěji x.Myšlené číslo = x.
RovniceDva výrazy spojené rovnítkem. Tvrdí, že levá a pravá strana mají stejnou hodnotu.2x + 5 = 31
Řešení (kořen)Číslo, které když dosadíš za x, platí rovnost.x = 13, protože 2 · 13 + 5 = 31.

Rovnice jsou váhy

Představ si rovnoramenné váhy v rovnováze. Na levé misce jsou 3 pytlíky x a 4 závaží, na pravé 19 závaží. Zápis: 3x + 4 = 19.

Pravidlo vah: co uděláš s jednou miskou, musíš udělat i s druhou – jinak se váhy nakloní. Zkus ubrat 4 závaží z obou misek a pak rozdělit obě misky na 3 stejné díly.

  • Uber 4 z obou stran: 3x = 15.
  • Vyděl obě strany 3: x = 5.
  • Jeden pytlík váží 5.
Myšlené číslo: zdvojnásobím a přičtu 5, vyjde 31.
Rovnice 2x + 5 = 31. Uber 5: 2x = 26. Vyděl 2: x = 13. Zkouška: 2 · 13 + 5 = 31 ✓.
Petr je o 4 roky starší než Eva. Dohromady mají 30 let. Kolik je Evě?
Eva x, Petr x + 4. Rovnice x + x + 4 = 30, tedy 2x + 4 = 30. Uber 4: 2x = 26. x = 13. Evě je 13, Petrovi 17.

Pytlíky na obou miskách

2x + 3 = x + 10: vlevo 2 pytlíky a 3 závaží, vpravo 1 pytlík a 10 závaží. Uber z obou misek jeden pytlík: x + 3 = 10. Uber 3: x = 7. A závorka? 3(x + 1) = 15 jsou 3 stejné balíčky „pytlík + 1 závaží“, tedy 3x + 3 = 15, x = 4.

Nakonec udělej zkoušku: dosaď výsledek do původní rovnice. 2 · 7 + 3 = 17 a 7 + 10 = 17 ✓.

✗3x + 4 = 19 → 3x = 19 + 4
✓3x = 19 − 4 = 15

Na levé straně jsi 4 ubral, takže musíš ubrat 4 i vpravo. Ne přidat.

Rovnice = váhy v rovnováze. Na obě strany dělej vždy totéž, dokud nezůstane samotné x.

Postup

O čem to je

U složitějších rovnic se závorkami a neznámou na obou stranách se hodí pevný postup. Dodržíš-li pořadí kroků, vyřešíš každou lineární rovnici.

Nové pojmy

Rovnice a stranyRovnice má levou stranu (před =) a pravou stranu (za =). Obě mají stejnou hodnotu.V 5(x − 2) = 2x + 8 je levá strana 5(x − 2).
Lineární rovniceRovnice, kde je neznámá x jen v první mocnině – žádné x², žádné x ve jmenovateli.3x − 5 = 16 je lineární, x² = 9 není.
Ekvivalentní úpravaÚprava, která nezmění řešení: přičíst/odečíst totéž na obou stranách, vynásobit/vydělit obě strany stejným číslem různým od nuly.Z 3x = 18 vydělením 3 dostaneš x = 6.
ZkouškaDosazení výsledku do původní rovnice. Obě strany musí vyjít stejně.x = 6: levá 5 · 4 = 20, pravá 12 + 8 = 20 ✓

Postup v pěti krocích

Zadání: 5(x − 2) = 2x + 8
Odstraň závorky: 5x − 10 = 2x + 8
Členy s x převeď doleva (odečti 2x): 3x − 10 = 8
Čísla převeď doprava (přičti 10): 3x = 18
Vyděl koeficientem u x: x = 6
Zkouška: L = 5 · (6 − 2) = 20, P = 2 · 6 + 8 = 20 ✓

Zkus to na vahách: 2x − 3 = 7. Co musíš udělat s oběma stranami nejdřív?

7 − 2x = 1
Odečti 7: −2x = −6. Vyděl −2: x = 3. Zkouška: 7 − 6 = 1 ✓.
x/3 + 2 = 6
Odečti 2: x/3 = 4. Vynásob 3: x = 12. Zkouška: 12/3 + 2 = 6 ✓.

Zvláštní případy

  • 2x + 1 = 2x + 3 → odečti 2x: 1 = 3. To nikdy neplatí → rovnice nemá řešení.
  • 2x + 2 = 2(x + 1) → vyjde 2 = 2. Platí vždy → řešením je každé číslo.
✗3x = 18 → x = 18 − 3 = 15
✓x = 18 : 3 = 6

3x znamená 3 krát x. Opakem násobení je dělení, ne odčítání.

Závorky → x doleva → čísla doprava → vyděl koeficientem → zkouška. Vždy dělej totéž na obou stranách.
🧱Mnohočleny a vzorce⭕Kruh a kružnice