⭕ Kruh a kružnice

Provázkem

O čem to je

Kolo, talíř, mince, pizza, ciferník. Kulaté věci jsou všude. Kolik metrů ujede kolo za jednu otáčku? Kolik těsta je potřeba na pizzu? Na to potřebuješ znát vzorce pro kruh.

A objevíš při tom jedno z nejslavnějších čísel světa – π (pí).

Nové pojmy

StředBod přesně uprostřed kruhu. Všechny body na okraji jsou od něj stejně daleko.U kružítka je to místo, kam zapíchneš hrot.
Poloměr (r)Vzdálenost ze středu na okraj.Jak moc roztáhneš kružítko.
Průměr (d)Úsečka přes celý kruh skrz střed. Je dvakrát delší než poloměr: d = 2r.Pizza s průměrem 30 cm má poloměr 15 cm.
Kružnice × kruhKružnice je jen ta čára po okraji. Kruh je čára i celá plocha uvnitř.Obruč je kružnice, placka je kruh.

Pokus s provázkem

Vezmi hrnek a obtoč ho provázkem dokola.
Provázek natáhni a změř – to je obvod (délka kružnice).
Změř průměr hrnku napříč.
Vyděl obvod průměrem. Vždy vyjde něco přes 3 – asi 3,14.

Ať změříš hrnek, talíř nebo kolo, vyjde pokaždé stejné číslo. Jmenuje se π (pí) a je přibližně 3,14. Přesně ho napsat nejde – má nekonečně mnoho číslic za čárkou: 3,14159…

Měň poloměr a sleduj, jak roste obvod a obsah. Obvod roste stejně rychle jako poloměr, obsah mnohem rychleji.

Délka kružnice a obsah kruhu

  • Délka kružnice (obvod): o = π · d = 2 · π · r
  • Obsah kruhu: S = π · r · r = π · r²
Kolo má poloměr 5 cm. Jakou vzdálenost ujede za jednu otáčku?
o = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm.
Jaký obsah má kruh s poloměrem 5 cm?
S = 3,14 · 5 · 5 = 3,14 · 25 = 78,5 cm².
✗Když zdvojnásobím poloměr, obsah se zdvojnásobí.
✓Obsah se zvětší 4krát.

V obsahu je r dvakrát (r · r). Dvojnásobný poloměr: 2r · 2r = 4 · r².

π ≈ 3,14 = obvod : průměr. Délka kružnice o = 2πr, obsah kruhu S = πr².

Vzorce a pojmy

O čem to je

Kolem kruhu a kružnice je spousta pojmů – tětiva, tečna, výseč. Tady je máš přehledně, spolu se vzorci a postupem výpočtu.

Nové pojmy

Kružnice k(S; r)Všechny body, které mají od středu S vzdálenost přesně r.k(S; 3 cm) – kružnice se středem S a poloměrem 3 cm.
KruhKružnice spolu s celou plochou uvnitř.Body ve vzdálenosti nejvýš r od středu.
Poloměr r a průměr dr = vzdálenost středu od kružnice. d = 2r = nejdelší úsečka přes kruh.d = 8 cm → r = 4 cm
π (pí)Číslo, kolikrát je obvod delší než průměr. π = 3,14159…, počítáme s 3,14.Platí pro každou kružnici.

Vzorce

covzorecjednotka
průměrd = 2rcm
délka kružniceo = 2πr = πdcm
obsah kruhuS = πr²cm²
Zjisti poloměr. Máš průměr? Vyděl ho 2.
Obvod: 2 · 3,14 · r.
Obsah: 3,14 · r · r.
Zkontroluj jednotky: obvod v cm, obsah v cm².
Poloměr 10 cm. Obvod a obsah?
o = 2 · 3,14 · 10 = 62,8 cm. S = 3,14 · 100 = 314 cm².
Obsah půlkruhu s poloměrem 10 cm?
Celý kruh 314 cm², polovina 157 cm².

Přímky a kružnice

  • Sečna – přímka, která kružnici protne ve 2 bodech.
  • Tečna – dotýká se kružnice v 1 bodě. V tom bodě je kolmá k poloměru.
  • Vnější přímka – nemá s kružnicí žádný společný bod.
  • Tětiva – úsečka spojující dva body kružnice. Nejdelší tětiva je průměr.
  • Kruhová výseč – část kruhu mezi dvěma poloměry (jako dílek pizzy).

Procvič si pojmy – otoč kartičku.

  • tětiva – spojuje dva body kružnice
  • tečna – dotýká se v 1 bodě, kolmá k poloměru
  • sečna – protíná kružnici ve 2 bodech
  • výseč – část kruhu mezi 2 poloměry
✗Průměr 8 cm → S = 3,14 · 8² = 200,96 cm²
✓r = 4 cm → S = 3,14 · 16 = 50,24 cm²

Ve vzorci je poloměr, ne průměr. Vždy nejdřív zjisti r.

d = 2r, o = 2πr, S = πr². Obvod se počítá s r, obsah s r². Tečna je kolmá k poloměru.
⚖️Lineární rovnice🥫Válec