🥫 Válec

Plechovka

O čem to je

Plechovka limonády, hrnek, sud, komín, roličky toaletního papíru. Všechno jsou to válce. Kolik se do plechovky vejde? Kolik plechu je potřeba na její výrobu?

Výrobce to musí vědět přesně. A ty to zvládneš taky – válec je vlastně jen „kulatý hranol“.

Nové pojmy

VálecTěleso se dvěma stejnými kruhy (dole a nahoře), které spojuje zakřivená stěna.Plechovka.
PodstavaKaždý z těch dvou kruhů – dno a víko.Víčko plechovky.
PlášťZakřivená boční stěna – „etiketa“ plechovky.Papírová nálepka kolem plechovky.
Poloměr r a výška vr je vzdálenost středu podstavy od jejího okraje. v je výška válce – vzdálenost dna a víka.Plechovka: r ≈ 3 cm, v ≈ 12 cm.
π (pí)Číslo asi 3,14. Obvod kruhu je 2 · π · r, obsah kruhu π · r².Kruh s r = 2 cm má obsah 3,14 · 4 = 12,56 cm².

Rozbal plechovku

Odstřihni dno a víko a etiketu rozstřihni nahoru podél. Rozlož vše na stůl:

Etiketa je obdélník! Jedna jeho strana je výška plechovky. Druhá strana obtáčela plechovku dokola – je tedy dlouhá jako obvod kruhu: 2πr.

Objem: kolik pater

Stejně jako u hranolu: kolik se vejde do jednoho „patra“ (obsah podstavy πr²) krát kolik je pater (výška v). V = πr² · v.

Měň poloměr podstavy a sleduj její obsah. To je jedno „patro“ válce.

Plechovka má r = 2 cm a v = 5 cm. Kolik se do ní vejde?
Podstava: 3,14 · 2 · 2 = 12,56 cm². Objem: 12,56 · 5 = 62,8 cm³.
Válec r = 1 cm, v = 10 cm. Kolik cm² má plášť?
Plášť je obdélník: obvod 2 · 3,14 · 1 = 6,28 cm, výška 10 cm. 6,28 · 10 = 62,8 cm².
✗Šířka rozvinutého pláště = průměr podstavy.
✓Šířka pláště = obvod podstavy 2πr.

Plášť se kolem podstavy obtáčí celý dokola. Průměr je jen čára napříč.

Válec = 2 kruhové podstavy + plášť (obdélník 2πr × v). V = πr² · v. Povrch = 2 podstavy + plášť.

Vzorce

O čem to je

Pro válec jsou tři vzorce: objem, plášť a povrch. Vychází z toho, co už znáš o kruhu. Naučíš se je používat krok za krokem a převádět výsledek na litry.

Nové pojmy

VálecTěleso se dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm.Sud, hrnek, plechovka.
r, vr = poloměr podstavy, v = výška válce.Je-li průměr 20 cm, je r = 10 cm.
Obsah podstavy SpObsah kruhu: Sp = π · r².r = 10 cm: Sp = 3,14 · 100 = 314 cm²
Litr1 litr = 1 dm³ = 1 000 cm³.3 140 cm³ = 3,14 l

Vzorce

covzorecproč
objemV = πr² · vpodstava · výška
plášťSpl = 2πr · vobdélník: obvod · výška
povrchS = 2πr² + 2πrv2 podstavy + plášť

Postup

Zjisti r (z průměru: r = d : 2) a v ve stejných jednotkách.
Spočítej obsah podstavy πr².
Objem = obsah podstavy · v.
Plášť = 2 · π · r · v.
Povrch = 2 · obsah podstavy + plášť.
Válec r = 10 cm, v = 10 cm. Objem v litrech?
V = 3,14 · 100 · 10 = 3 140 cm³. 1 000 cm³ = 1 l, takže 3,14 l.
Válec r = 2 cm, v = 5 cm. Povrch?
Podstavy: 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm². Plášť: 2 · 3,14 · 2 · 5 = 62,8 cm². Povrch 87,92 cm².

Co se stane, když…

  • …zdvojnásobím výšku? Objem se zdvojnásobí (dvakrát víc pater).
  • …zdvojnásobím poloměr? Objem se zečtyřnásobí, protože r je ve vzorci dvakrát (r²).

Ověř si: nastav kruh s poloměrem 2 a pak 4. Kolikrát vzrostl obsah?

✗V = 2πr · v (objem válce)
✓V = πr² · v

2πr je obvod – čára, ne plocha. Objem = plocha podstavy krát výška, a plocha kruhu je πr².

V = πr² · v. Spl = 2πr · v. S = 2πr² + 2πrv. 1 l = 1 000 cm³.
⭕Kruh a kružnice✏️Konstrukční úlohy