✏️ Konstrukční úlohy

Plán

O čem to je

Truhlář nezačne hned řezat. Nejdřív si nakreslí náčrt, rozmyslí postup a teprve pak pracuje. V geometrii je to stejné: chceš narýsovat trojúhelník, o kterém víš jen pár údajů.

Takovým úlohám se říká konstrukční úlohy. Naučí tě plánovat – a přesně rýsovat pravítkem a kružítkem.

Nové pojmy

KonstrukcePřesné narýsování útvaru pomocí pravítka a kružítka.Narýsovat trojúhelník se stranami 6, 5 a 4 cm.
NáčrtRychlý obrázek od ruky, nemusí být přesný. Vyznačíš do něj, co znáš.Trojúhelník nakreslený bez pravítka, s popsanými délkami.
Kružnice k(A; 5 cm)Kružnice se středem v bodě A a poloměrem 5 cm. Všechny její body jsou od A vzdálené přesně 5 cm.Kružítko roztáhneš na 5 cm a zapíchneš do A.
PrůsečíkBod, ve kterém se dvě čáry protnou.Dvě kružnice se mohou protnout ve dvou bodech.

Čtyři kroky

Klikni na kroky a projdi si je dokola. Tak se řeší každá konstrukční úloha.

  1. Rozbor (náčrt)
  2. Zápis postupu
  3. Konstrukce
  4. Zkouška a diskuse
  • Rozbor: náčrt od ruky, vyznačíš známé údaje a vymyslíš, jak na to.
  • Zápis postupu: krátce, krok za krokem, co budeš rýsovat.
  • Konstrukce: samotné rýsování.
  • Diskuse: kolik má úloha řešení – žádné, jedno, nebo víc?

Trojúhelník ze tří stran

Sestroj trojúhelník ABC: c = |AB| = 6 cm, b = |AC| = 5 cm, a = |BC| = 4 cm.
1. Narýsuj úsečku AB dlouhou 6 cm. 2. Bod C je 5 cm od A → kružnice k(A; 5 cm). 3. Bod C je 4 cm od B → kružnice k(B; 4 cm). 4. C je průsečík kružnic. 5. Spoj A, B, C.

Diskuse: kružnice se protnou ve dvou bodech – nad úsečkou a pod ní. Oba trojúhelníky jsou ale stejné (shodné), jen převrácené. Úloha má tedy jedno řešení.

Proč to šlo? Protože 5 + 4 > 6. Kdyby součet dvou kratších stran nebyl větší než nejdelší strana, kružnice by se nepotkaly a trojúhelník by neexistoval.

Proč používáme kružnici, a ne jen pravítko?
Nevíme, kterým směrem bod C leží. Kružnice ukáže všechna místa ve správné vzdálenosti. Kde se dvě takové kružnice potkají, tam C musí být.

Další pomocné čáry

Kružnice ukáže body v dané vzdálenosti. Podobně fungují další čáry: osa úsečky AB (kolmice středem AB) obsahuje body stejně daleko od A i B. Osa úhlu ho půlí. Thaletova kružnice nad AB (AB je její průměr) obsahuje vrcholy všech pravých úhlů nad AB – hodí se pro pravoúhlé trojúhelníky.

✗Začnu hned rýsovat a uvidím.
✓Nejdřív náčrt a rozbor.

Bez plánu často zjistíš v půlce, že jsi začal špatnou stranou, a musíš rýsovat znovu.

Rozbor → postup → konstrukce → diskuse. Hledaný bod je průsečík dvou čar (často kružnic).

Množiny bodů

O čem to je

Hledáš místo na stan, které je stejně daleko od dvou stromů a zároveň 10 m od potoka. Každá podmínka určí jednu čáru možných míst. Kde se čáry protnou, tam je řešení.

Tyhle čáry se jmenují množiny bodů a jsou klíčem ke všem konstrukčním úlohám.

Nové pojmy

Množina bodůVšechny body, které splňují nějakou podmínku. Obvykle tvoří čáru.Všechny body 3 cm od bodu S tvoří kružnici.
Osa úsečkyPřímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá (svírá pravý úhel).Každý bod na ose úsečky AB je stejně daleko od A jako od B.
Osa úhluPolopřímka z vrcholu, která dělí úhel na dvě stejné poloviny.Osa pravého úhlu ho dělí na 45° a 45°.
Thaletova kružniceKružnice, jejímž průměrem je úsečka AB (střed je uprostřed AB). Z každého jejího bodu (kromě A a B) je AB vidět pod pravým úhlem.Pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB má vrchol C na Thaletově kružnici.

Tabulka množin

body, které…leží na
mají od S vzdálenost rkružnici k(S; r)
mají stejnou vzdálenost od A a Bose úsečky AB
mají stejnou vzdálenost od ramen úhluose úhlu
vidí AB pod pravým úhlemThaletově kružnici nad AB

Nastav úhel na 90°. Představ si, že ramena procházejí body A a B. Vrchol úhlu pak leží na Thaletově kružnici nad AB.

Postup s množinami

Přečti podmínky pro hledaný bod.
Každou podmínku přelož na množinu bodů (kružnice, osa, Thaletova kružnice).
Obě množiny narýsuj.
Hledaný bod je jejich průsečík.
Spočítej průsečíky – to je počet řešení (diskuse).
Sestroj pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou |AB| = 6 cm a odvěsnou |AC| = 4 cm.
1. AB, 6 cm. 2. Thaletova kružnice nad AB (střed uprostřed AB, poloměr 3 cm) – tam je C, protože u C je pravý úhel. 3. k(A; 4 cm). 4. C je průsečík. 5. Trojúhelník ABC.

Významné body trojúhelníku

bodprůsečík
střed kružnice opsané (prochází vrcholy)os stran
střed kružnice vepsané (dotýká se stran)os úhlů
těžištětěžnic (vrchol → střed protější strany)
ortocentrumvýšek

Trojúhelník je určený (dá se sestrojit) třemi stranami – věta sss, dvěma stranami a úhlem mezi nimi – sus, nebo stranou a dvěma úhly u ní – usu.

✗Střed kružnice vepsané je průsečík výšek.
✓Je to průsečík os úhlů.

Střed vepsané kružnice musí být stejně daleko od všech tří stran – a to splňují právě body na osách úhlů.

Každá podmínka = jedna množina bodů. Hledaný bod je průsečík dvou množin. Thaletova kružnice = vrcholy pravých úhlů nad AB.
🥫Válec📊Statistika