🔁 Přímá a nepřímá úměrnost

Ze života

O čem to je

Koupíš dvakrát víc rohlíků – zaplatíš dvakrát víc. Pozveš na úklid dvakrát víc kamarádů – budete hotoví za poloviční čas. V obou případech spolu dvě věci souvisí, ale jinak.

Těmto vztahům se říká přímá a nepřímá úměrnost. Když je poznáš, spočítáš cenu nákupu, dobu cesty nebo spotřebu benzínu.

Nové pojmy

VeličinaNěco, co se dá změřit nebo spočítat a může se měnit.Počet rohlíků, cena, čas, rychlost.
Přímá úměrnostKdyž jednu veličinu zvětšíš 2krát (3krát…), druhá se zvětší taky 2krát (3krát…).2 rohlíky 6 Kč, 4 rohlíky 12 Kč.
Nepřímá úměrnostKdyž jednu veličinu zvětšíš 2krát (3krát…), druhá se 2krát (3krát…) zmenší.2 malíři za 6 dní, 4 malíři za 3 dny.

Jak je poznat

Polož si otázku: „Když bude jednoho dvakrát víc, co se stane s druhým?“

  • Dvakrát víc lístků → dvakrát vyšší cena. Přímá.
  • Dvakrát rychlejší auto → poloviční doba cesty. Nepřímá.
  • Dvakrát starší člověk → není dvakrát vyšší. Ani jedna!

Roztřiď dvojice do kbelíků. U každé si polož tu otázku.

Počítáme přes jedničku

4 sešity stojí 60 Kč. Kolik stojí 6 sešitů?
Přímá úměrnost. 1 sešit: 60 : 4 = 15 Kč. 6 sešitů: 6 · 15 = 90 Kč.
3 bagry vykopou jámu za 8 hodin. Za jak dlouho 4 bagry?
Nepřímá úměrnost – víc bagrů, méně času. 1 bagr by kopal 3 · 8 = 24 hodin. 4 bagry: 24 : 4 = 6 hodin.
✗3 bagry 8 hodin, tak 4 bagry 8 · 4/3 ≈ 10,7 hodiny.
✓4 bagry = 6 hodin.

Víc bagrů nemůže kopat déle! To je nepřímá úměrnost – musíš čas dělit, ne násobit. Vždy si ověř, jestli výsledek dává smysl.

Přímá: kolikrát víc, tolikrát víc. Nepřímá: kolikrát víc, tolikrát méně. Počítej přes „jeden kus“.

Trojčlenka a graf

O čem to je

Úlohy s úměrností mají vždy stejný tvar: známe jednu dvojici čísel a hledáme chybějící číslo v druhé dvojici. Na to existuje spolehlivý zápis – trojčlenka.

A přímou úměrnost si můžeš i nakreslit – vyjde z ní krásná rovná čára.

Nové pojmy

Přímá úměrnostObě veličiny rostou stejně: kolikrát víc jedné, tolikrát víc druhé. Jejich podíl y : x je pořád stejný.1 kg 30 Kč, 3 kg 90 Kč → 90 : 3 = 30
Nepřímá úměrnostKolikrát víc jedné, tolikrát méně druhé. Jejich součin x · y je pořád stejný.2 malíři · 6 dní = 12, 4 malíři · 3 dny = 12
TrojčlenkaZápis úlohy do dvou řádků se šipkami. Ze tří známých čísel spočítáš čtvrté.3 kg … 90 Kč, 5 kg … x Kč

Trojčlenka u přímé úměrnosti

3 kg jablek stojí 90 Kč. Kolik stojí 5 kg?
Zapiš: 3 kg … 90 Kč, 5 kg … x Kč.
Šipky: kg rostou (↑), cena taky roste (↑). Stejný směr → přímá.
U přímé násob „podle šipek“: x = 90 · 5/3.
x = 150 Kč.

Trojčlenka u nepřímé úměrnosti

6 dělníků postaví zeď za 4 dny. Za kolik dní 8 dělníků?
Zapiš: 6 dělníků … 4 dny, 8 dělníků … x dní.
Dělníků víc (↑), dní méně (↓). Opačný směr → nepřímá.
U nepřímé zlomek otoč: x = 4 · 6/8.
x = 3 dny.
Auto jede 60 km/h a cesta trvá 2 h. Jak dlouho pojede rychlostí 40 km/h?
Pomaleji → déle, nepřímá. Součin je stálý: 60 · 2 = 120 (to je délka cesty v km). 120 : 40 = 3 h.

Graf přímé úměrnosti

GrafObrázek, kde každé dvojici čísel (x, y) odpovídá jeden bod. Vodorovná osa je x, svislá y. Počátek je bod, kde se osy kříží (x = 0, y = 0).Bod [2; 4] je 2 dílky doprava a 4 nahoru.

Přímá úměrnost se zapisuje y = k · x. Číslo k je cena za 1 kus. Graf je vždy přímka, která prochází počátkem – za 0 kusů zaplatíš 0 Kč. Měň k a sleduj, jak se přímka naklání.

Nepřímá úměrnost se zapisuje y = k / x. Její graf není přímka, ale křivka – tu poznáš v 9. třídě.

✗Tabulka x = 1, 2, 4 a y = 12, 6, 3 je přímá úměrnost, protože se čísla mění pravidelně.
✓Je to nepřímá úměrnost: x · y = 12 pořád.

Rozhoduje směr: x roste, y klesá. Ověř si to součinem (nepřímá) nebo podílem (přímá).

Přímá: y = k · x, podíl stálý, graf přímka z počátku. Nepřímá: y = k / x, součin stálý. V trojčlence urči směr šipek.
⚖️Poměr a měřítko💯Procenta