🔄 Středová souměrnost

Otočení

O čem to je

Napiš na papír písmeno S a otoč papír „vzhůru nohama“ (o půl otáčky). Pořád vidíš S! Zkus to s písmenem A – po otočení je obrácené.

Obrazce, které po otočení o půl otáčky vypadají stejně, jsou středově souměrné. Najdeš je na hracích kartách, v ornamentech, u vrtulí i na dlaždicích.

Nové pojmy

Otočení o 180°Půl otáčky kolem jednoho bodu. Úhly měříme ve stupních: celá otáčka je 360°, půl otáčky 180°.Ručička hodin z 12 na 6.
Střed souměrnosti (S)Bod, kolem kterého se otáčí. Zůstává na místě.U písmene S je to bod přesně uprostřed.
Středová souměrnostPřemístění, při kterém se každý bod otočí o 180° kolem středu S.Obrázek otočený vzhůru nohama kolem svého středu.
ObrazKam se bod nebo obrazec dostane po otočení. Obraz bodu A se značí A′ („A s čárkou“).Levý horní roh obrázku se otočí na pravý dolní.

Půl otáčky

Nastav úhel na 180°. Obě ramena tvoří rovnou čáru – bod a jeho obraz leží na přímce přes střed, každý na jedné straně.

Co je středově souměrné?

Roztřiď obrazce. U každého si v duchu otoč papír o půl otáčky: vypadá stejně?

Je písmeno N středově souměrné?
Otočíš-li N o půl otáčky, levá svislá čára se dostane doprava a šikmá čára zůstane šikmá stejným směrem. Vypadá stejně → ano.
Je rovnostranný trojúhelník středově souměrný?
Po půl otáčce míří špička dolů místo nahoru. Nevypadá stejně → ne. (Osově souměrný ale je.)
✗Písmeno A je středově souměrné, protože je souměrné.
✓A je jen osově souměrné (podle svislé čáry).

Osová souměrnost = zrcadlo, středová = otočení o půl otáčky. A po otočení stojí na špičce.

Ještě jedna věc: bod a jeho obraz jsou od středu stejně daleko. Je-li A 4 cm od S, je A′ také 4 cm od S, na druhé straně – mezi A a A′ je 8 cm.

Středová souměrnost = otočení o 180° kolem středu S. Bod a obraz jsou od S stejně daleko, na opačných stranách.

Konstrukce

O čem to je

Otáčet obrázek v hlavě je jedna věc, ale narýsovat ho přesně je druhá. Stačí umět najít obraz jednoho bodu – pak tak „otočíš“ celý obrazec bod po bodu.

Nové pojmy

ÚsečkaRovná čára mezi dvěma body. Délka úsečky AS se píše |AS|.|AS| = 4 cm
PolopřímkaRovná čára, která začíná v bodě a pokračuje jedním směrem donekonečna.Polopřímka AS začíná v A, jde přes S a pokračuje dál.
Střed souměrnosti SPevný bod, který leží přesně uprostřed mezi každým bodem a jeho obrazem.S je střed úsečky AA′.
Obraz A′Bod, který vznikne z bodu A středovou souměrností.Je-li |AS| = 3 cm, je i |SA′| = 3 cm.

Obraz bodu krok za krokem

Narýsuj polopřímku z bodu A přes střed S a prodluž ji za S.
Kružítkem změř vzdálenost |AS|.
Stejnou vzdálenost nanes z S dál po polopřímce.
Vznikl bod A′. Střed S je přesně uprostřed úsečky AA′.

Obraz trojúhelníku ABC: najdi A′, B′, C′ a spoj je. Obraz je stejně velký, jen „vzhůru nohama“.

Co platí vždycky

  • Střed S je sám sobě obrazem.
  • Délky se nemění: úsečka a její obraz jsou stejně dlouhé (shodné).
  • Obraz přímky, která neprochází středem, je přímka s ní rovnoběžná (nikdy se neprotnou).
  • Středová souměrnost je totéž jako otočení o 180°.
Bod A je 4 cm od středu S. Jak daleko je A od A′?
A′ je také 4 cm od S, na druhé straně. 4 + 4 = 8 cm.
Kde je střed souměrnosti rovnoběžníku?
Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější strany rovnoběžné (např. obdélník). Jeho střed je v průsečíku úhlopříček – spojnic protějších rohů.
útvarosověstředově
čtverec, obdélník, kruhanoano
písmeno A, rovnostranný △anone
písmena S, N, Zneano
písmeno Fnene
✗Obraz A′ najdu tak, že A zrcadlím přes přímku vedenou bodem S.
✓A′ leží na polopřímce AS za středem, ve stejné vzdálenosti.

To první je osová souměrnost. Ve středové souměrnosti se zrcadlí přes bod, ne přes čáru.

Obraz bodu: polopřímka AS, za S naneseš |AS|. S je uprostřed úsečky AA′. Délky se nemění, přímky se zobrazí na rovnoběžky.
💯Procenta🔷Rovnoběžníky a lichoběžník