🔺 Trojúhelník

Utrhni rohy

O čem to je

Střecha domu, kus pizzy, dopravní značka „pozor“ – všechno trojúhelníky. Je to nejjednodušší obrazec s rovnými stranami a zároveň nejpevnější: proto ho stavitelé dávají do mostů a jeřábů.

Trojúhelníky mají několik pravidel, která platí vždycky. Když je znáš, dopočítáš chybějící úhel nebo poznáš, jestli trojúhelník vůbec jde nakreslit.

Nové pojmy

TrojúhelníkObrazec ze tří rovných čar (stran), které se spojují ve třech bodech.Značí se △ABC podle jeho tří rohů A, B, C.
VrcholRoh trojúhelníku – bod, kde se potkají dvě strany. Trojúhelník má 3 vrcholy.A, B, C
Úhel a stupeňÚhel říká, jak moc jsou dvě strany v rohu rozevřené. Měří se ve stupních (°). Pravý úhel (roh sešitu) má 90°, rovná čára 180°.Ostrý roh pizzy má třeba 45°.
Vnitřní úhlyTři úhly uvnitř trojúhelníku, v každém vrcholu jeden. Značí se řeckými písmeny α, β, γ (alfa, beta, gama).V rovnostranném trojúhelníku má každý 60°.

Pokus: utrhni rohy

Vystřihni z papíru libovolný trojúhelník.
Každý roh trochu obarvi a pak všechny tři utrhni.
Přilož utržené rohy k sobě špičkami do jednoho bodu.
Vždy dohromady vytvoří rovnou čáru – a ta má 180°.

Posuň úhel na 180° a podívej se: ramena tvoří jednu rovnou čáru. Přesně tolik dají tři rohy trojúhelníku.

Dva úhly trojúhelníku mají 50° a 60°. Kolik má třetí?
Všechny tři dají 180°. 180 − 50 − 60 = 70°.
Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly stejné. Kolik má každý?
180 : 3 = 60°.
✗Trojúhelník může mít dva pravé úhly.
✓Nemůže. 90° + 90° = 180° a na třetí úhel by nezbylo nic.

Součet všech tří úhlů je přesně 180°, takže nejvýš jeden úhel může mít 90° nebo víc.

Pokus se špejlemi

Zkus složit trojúhelník ze špejlí 3 cm, 4 cm a 8 cm. Nejde to! Dvě kratší jsou dohromady jen 7 cm a nedosáhnou na konce té dlouhé.

Pravidlo: součet dvou stran musí být vždy větší než třetí strana. Říká se mu trojúhelníková nerovnost.

Jak se trojúhelníky jmenují

  • Podle stran: různostranný (každá jiná), rovnoramenný (dvě stejné – ramena), rovnostranný (všechny stejné).
  • Podle největšího úhlu: ostroúhlý (všechny menší než 90°), pravoúhlý (jeden přesně 90°), tupoúhlý (jeden větší než 90°).
  • V pravoúhlém trojúhelníku se nejdelší strana naproti pravému úhlu jmenuje přepona.

Ještě dvě čáry: výška vede z vrcholu kolmo (pod pravým úhlem) na protější stranu, těžnice vede z vrcholu do středu protější strany.

Vnitřní úhly trojúhelníku dají vždy 180°. Dvě strany dohromady musí být delší než třetí.

Druhy a čáry

O čem to je

Trojúhelníky nejsou všechny stejné. Některé jsou štíhlé a špičaté, jiné ploché, jiné mají roh přesně jako sešit. Podle stran a úhlů je umíme pojmenovat.

K tomu má každý trojúhelník několik důležitých čar – výšku a těžnici. Výšku budeš potřebovat třeba k výpočtu obsahu.

Nové pojmy

Strany a vrcholyTrojúhelník ABC má vrcholy (rohy) A, B, C a strany a, b, c. Strana a leží naproti vrcholu A.Strana c spojuje vrcholy A a B.
Druhy úhlůOstrý úhel je menší než 90°, pravý má přesně 90° (roh sešitu), tupý je větší než 90°.45° ostrý, 90° pravý, 120° tupý.
ObvodSoučet délek všech stran – jak dlouhý by byl plot kolem.Strany 5, 7 a 9 cm → obvod 21 cm.

Druhy trojúhelníků

podle stranco to znamená
různostrannýkaždá strana jinak dlouhá
rovnoramennýdvě strany stejné – říká se jim ramena, třetí je základna
rovnostrannývšechny tři strany stejné
podle úhlůco to znamená
ostroúhlývšechny úhly ostré
pravoúhlýjeden úhel pravý; strana naproti němu je přepona
tupoúhlýjeden úhel tupý

Důležité čáry

VýškaČára z vrcholu na protější stranu, která na ni dopadá kolmo (pod pravým úhlem). Jako olovnice spuštěná ze špičky střechy.Výška ze špičky stanu na zem.
TěžniceČára z vrcholu do středu protější strany.Všechny tři těžnice se protnou v jednom bodě – těžišti. Tam trojúhelník udržíš na prstu.

Pohraj si s trojúhelníkem: měň délky a sleduj obvod a obsah.

Pravidla, která platí vždy

  • Součet vnitřních úhlů je 180°.
  • Součet dvou stran je větší než třetí: a + b > c (trojúhelníková nerovnost).
  • V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly u základny stejné.
Rovnoramenný trojúhelník má u hlavního vrcholu (mezi rameny) úhel 40°. Jak velké jsou úhly u základny?
Na dva stejné úhly zbývá 180 − 40 = 140°. Každý má 140 : 2 = 70°.
Jde sestrojit trojúhelník se stranami 5 cm, 6 cm a 7 cm?
Dvě nejkratší: 5 + 6 = 11 > 7. Nerovnost platí → ano.
✗Těžnice a výška jsou totéž.
✓Výška dopadá kolmo, těžnice míří do středu strany.

Obvykle jsou to dvě různé čáry. Splývají jen ve zvláštních případech, třeba v rovnostranném trojúhelníku.

Podle stran: různostranný, rovnoramenný, rovnostranný. Podle úhlů: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý. Výška = kolmo na stranu, těžnice = do středu strany.
🦋Osová souměrnost🧃Objem a jednotky objemu