🦋 Osová souměrnost

Zrcadlem

O čem to je

Podívej se na motýla. Levé křídlo vypadá úplně stejně jako pravé, jen obráceně – jako v zrcadle. Stejné je to u listu stromu, u obličeje nebo u písmene A.

Takovým tvarům říkáme osově souměrné. Souměrnost využívají architekti, návrháři log, ale i příroda. A v geometrii podle ní umíme přesně „zrcadlit“ obrázky.

Nové pojmy

Osa souměrnostiRovná čára, podle které je obrazec souměrný. Kdybys na ni postavil zrcátko, uvidíš celý obrazec.U písmene A je osa svislá čára přesně uprostřed.
Osově souměrný obrazecObrazec, který jde přeložit podle osy tak, že se obě poloviny přesně kryjí.Srdce přeložené napůl – obě půlky na sebe sednou.
ObrazBod nebo obrazec, který vznikne „zrcadlením“. Označuje se čárkou: obraz bodu A je A′.Tvůj odraz v zrcadle je tvůj obraz.

Pokus s papírem

Přelož papír napůl.
Na jednu polovinu kápni barvu.
Papír přeložený přimáčkni.
Rozlož ho: otisk je na druhé straně přesně zrcadlově. Ohyb je osa.

Vyzkoušej si to

Roztřiď obrazce. U každého si představ zrcátko: dá se postavit tak, aby obrázek vypadal celý?

Kolik os může obrazec mít

Některé obrazce jdou přeložit víc způsoby. Čtverec můžeš přeložit svisle, vodorovně a po obou úhlopříčkách (z rohu do rohu) – má 4 osy. Obdélník jen svisle a vodorovně – 2 osy. Kruh přeložíš přes střed jakkoli – os je nekonečně mnoho.

Kolik os má písmeno H?
Svislá osa uprostřed – ano. Vodorovná osa uprostřed – také, horní a dolní půlka jsou stejné. 2 osy.
Je písmeno M osově souměrné?
Svislá čára uprostřed ho rozdělí na dvě zrcadlové půlky. Ano, má 1 osu.
✗Obdélník má 4 osy, stejně jako čtverec – i po úhlopříčkách.
✓Obdélník (který není čtverec) má jen 2 osy.

Když obdélník přeložíš po úhlopříčce, rohy na sebe nesednou. Zkus to s listem papíru A4.

Jak daleko je odraz

Stoupni si 1 metr před zrcadlo. Tvůj odraz vypadá, jako by stál 1 metr za zrcadlem – mezi vámi jsou 2 metry. Stejně v geometrii: bod a jeho obraz jsou od osy stejně daleko, každý z jedné strany, a spojnice mezi nimi je k ose kolmá (svírá s ní pravý úhel). Bod, který leží přímo na ose, se nehne.

Osově souměrný obrazec jde přeložit podle osy tak, že se obě poloviny kryjí. Bod a jeho obraz jsou od osy stejně daleko. Čtverec má 4 osy, obdélník 2, kruh nekonečně mnoho.

Konstrukce

O čem to je

Zrcadlit obrázek od oka jde, ale nepřesně. V geometrii se to dělá přesně pomocí pravítka s ryskou. Stačí umět najít obraz jednoho bodu – celý obrazec pak poskládáš z bodů.

Takhle se kreslí plány budov, vzory dlaždic nebo souměrná loga.

Nové pojmy

Osa (o)Přímka, podle které zrcadlíme. Značí se malým písmenem o.Na papíře je to rovná čára přes celou stránku.
KolmicePřímka, která protíná jinou přímku pod pravým úhlem (90°, jako roh sešitu). Rýsuje se pravítkem s ryskou.Svislá a vodorovná čára na čtverečkovaném papíře jsou na sebe kolmé.
Obraz bodu A′Bod, kam se A „přenese“ zrcadlením. Čte se „A s čárkou“.Když je A 3 cm vlevo od osy, je A′ 3 cm vpravo.
Vzdálenost od osyDélka nejkratší cesty z bodu k ose – vždy po kolmici.|AP| = 3 cm znamená, že úsečka AP je dlouhá 3 cm.

Obraz bodu krok za krokem

Bodem A veď kolmici k ose o.
Kde kolmice protne osu, označ bod P.
Změř vzdálenost |AP|, třeba kružítkem.
Stejnou vzdálenost nanes z P na druhou stranu osy.
Tam je obraz A′.

Celý obrazec: najdi obrazy všech jeho rohů a spoj je ve stejném pořadí.

Co platí vždycky

  • Bod a jeho obraz leží na jedné kolmici k ose.
  • Bod a obraz jsou od osy stejně daleko.
  • Bod, který leží na ose, je sám sobě obrazem.
  • Délky se nemění – úsečka a její obraz jsou stejně dlouhé.
Bod A je 3 cm od osy. Jak daleko je od A jeho obraz A′?
A je 3 cm od osy na jedné straně, A′ 3 cm na druhé. Mezi nimi je 3 + 3 = 6 cm.
obrazecpočet os
čtverec4
obdélník2
rovnostranný △ (všechny strany stejné)3
rovnoramenný △ (dvě strany stejné)1
kruhnekonečně
Kolik os má rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný?
Jen jednu – vede z vrcholu mezi stejnými stranami do středu protější strany. 1 osa.
✗Obraz bodu najdu tak, že ho přenesu šikmo přes osu, jak to vypadá od oka.
✓Obraz leží vždy na kolmici k ose, ve stejné vzdálenosti na druhé straně.

Když nepůjdeš po kolmici, obraz se posune a obrazec se zdeformuje.

Obraz bodu: kolmice k ose, stejná vzdálenost na druhou stranu. Bod na ose zůstává na místě. Délky se zrcadlením nemění.
📐Úhel a jeho velikost🔺Trojúhelník