💎 Prvočísla a rozklad

Kostičky

O čem to je

Některá čísla se dají poskládat z menších kousků mnoha způsoby. Jiná jsou „tvrdohlavá“ – nejdou rozdělit na stejné skupiny nijak.

Těm tvrdohlavým se říká prvočísla. Jsou to stavební kostky všech čísel. Používají se při krácení zlomků a dokonce i k šifrování zpráv na internetu.

Nové pojmy

DělitelČíslo, kterým dané číslo vydělíš beze zbytku (nic nezbude).Dělitelé 6 jsou 1, 2, 3 a 6.
PrvočísloČíslo, které má přesně dva dělitele: jedničku a samo sebe.7 jde vydělit jen 1 a 7. Je to prvočíslo.
Složené čísloČíslo, které má víc než dva dělitele.6 má dělitele 1, 2, 3, 6 – je složené.

Pokus s kostičkami

Zkus složit 7 kostiček do obdélníku. Jde jen jedna dlouhá řada 1 × 7. Nastav na mřížce jiné rozměry – 7 teček nedostaneš.

Šest kostiček ale složíš i jako 2 × 3. Proto je 6 složené a 7 je prvočíslo.

Prvočísla do 30

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Dvojka je jediné sudé prvočíslo – každé jiné sudé číslo jde vydělit dvěma, takže má víc dělitelů.

Je 51 prvočíslo?
Vypadá tak, ale zkusíme dělit: 51 : 3 = 17 beze zbytku. Má tedy dělitele 1, 3, 17, 51 → složené.
Je 13 prvočíslo?
Zkusím 2, 3, 5, 7, 11, 12 – nic nedělí beze zbytku. Dělitelé jsou jen 1 a 13 → prvočíslo.
✗1 je prvočíslo.
✓1 není prvočíslo ani složené číslo.

Jednička má jen jednoho dělitele (sebe). Prvočíslo musí mít přesně dva.

Roztřiď čísla: prvočíslo, nebo složené?

Rozbíjení na kostky

Každé složené číslo jde rozbít na součin prvočísel. 12 kostiček = 2 řady po 6, a 6 = 2 · 3. Takže 12 = 2 · 2 · 3. Tomu se říká rozklad na prvočinitele. Stejná čísla se dají zkrátit: 2 · 2 = 2² (čti „dvě na druhou“).

Prvočíslo má přesně dva dělitele: 1 a samo sebe. Složené číslo jich má víc a dá se rozložit na součin prvočísel. Jednička není ani jedno.

Rozkladový strom

O čem to je

Každé složené číslo se dá rozbít na menší čísla, která už rozbít nejdou. Je to jako rozebrat stavebnici na jednotlivé kostky.

Tomu se říká rozklad na prvočinitele. Hodí se k hledání společných dělitelů a ke krácení zlomků.

Nové pojmy

PrvočísloČíslo, které jde beze zbytku vydělit jen jedničkou a samo sebou. Má přesně dva dělitele.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Složené čísloČíslo větší než 1, které prvočíslem není – dá se zapsat jako součin menších čísel.15 = 3 · 5
PrvočinitelPrvočíslo, které se objeví v rozkladu čísla na součin.V 60 = 2 · 2 · 3 · 5 jsou prvočinitelé 2, 3 a 5.
Mocnina (zkratka)Když stejné číslo násobíš víckrát, zapíšeš to kratčeji. Malé číslo nahoře říká, kolikrát.2 · 2 = 2², 2 · 2 · 2 = 2³, 3 · 3 = 3².

Postup rozkladu

Zkus číslo vydělit nejmenším prvočíslem 2.
Jde to? Zapiš to a pokračuj s výsledkem.
Nejde to? Zkus 3, pak 5, 7, 11…
Skonči, až zbude samo prvočíslo.
Zapiš součin všech prvočinitelů, stejné spoj do mocniny.
Rozlož 60 na prvočinitele.
60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5 a 5 je prvočíslo. Takže 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Rozlož 36.
36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3. Takže 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².
Rozlož 40.
40 = 2 · 20 = 2 · 2 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5 = 2³ · 5.
✗36 = 4 · 9 je rozklad na prvočinitele.
✓36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3²

4 ani 9 nejsou prvočísla – dají se rozložit dál. Rozklad končí, až jsou všechna čísla prvočísla.

Kontrola

Rozklad si vždycky ověř: vynásob prvočinitele zpátky. 2 · 2 · 3 · 5 = 60 ✓. Rozklad každého čísla je jen jeden – nezáleží, čím začneš.

Procvič rozpoznání: přetáhni čísla do správného kbelíku.

Rozklad: děl postupně prvočísly 2, 3, 5, 7…, dokud nezbudou jen prvočísla. Stejné prvočinitele zapiš mocninou: 2 · 2 = 2².
🧩Násobek a dělitel🤝NSD a nsn