🤝 NSD a nsn

Příběhem

O čem to je

Dva autobusy odjely ze zastávky ve stejnou chvíli. Kdy zase pojedou spolu? A jindy: máš 12 jablek a 18 hrušek a chceš udělat co nejvíc stejných balíčků. Kolik jich bude?

Obě otázky se řeší podobně – hledáš, co mají dvě čísla společného. Jednou společný násobek, podruhé společného dělitele.

Nové pojmy

NásobekČíslo, které vznikne vynásobením daného čísla 1, 2, 3…Násobky 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…

DělitelČíslo, kterým dané číslo vydělíš beze zbytku.Dělitelé 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Nejmenší společný násobek (nsn)Nejmenší číslo, které je násobkem obou čísel. Zapisujeme n(4, 6).n(4, 6) = 12

Největší společný dělitel (NSD)Největší číslo, které dělí beze zbytku obě čísla. Zapisujeme D(12, 18).D(12, 18) = 6

Autobusy: hledáme nsn

Autobus A jezdí každé 4 minuty, autobus B každých 6 minut. Vypiš si, kdy který jede:

A: 4, 8, 12, 16, 20, 24
B: 6, 12, 18, 24

Poprvé se potkají za 12 minut. To je nejmenší společný násobek: n(4, 6) = 12.

Balíčky: hledáme NSD

12 jablek a 18 hrušek. Počet balíčků musí dělit 12 i 18, jinak by něco zbylo.

Dělitelé 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Dělitelé 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Největší společný je 6. Uděláš 6 balíčků, v každém 2 jablka a 3 hrušky. D(12, 18) = 6.

Dvě kola se otočí za 10 s a za 15 s. Za kolik sekund budou obě zase na začátku?

Hledám, kdy se to „potká“ → nsn. Násobky 15: 15, 30. 30 je i násobek 10. n(10, 15) = 30 s.

Máš 20 červených a 30 modrých kuliček. Kolik nejvíc stejných sáčků uděláš?

Dělím na stejné části → NSD. Dělitelé 20 a 30: společné 1, 2, 5, 10. D(20, 30) = 10 sáčků.

✗U autobusů hledám NSD, protože je tam slovo „spolu“.

✓Kdy se něco znovu potká nebo zopakuje → nsn. Dělení na co nejvíc stejných částí → NSD.

Čas setkání musí být násobkem obou intervalů, proto je to násobek, ne dělitel.

NSD = největší číslo, které dělí obě (dělím na části). nsn = nejmenší číslo, které je násobkem obou (kdy se to potká).

Rozkladem

O čem to je

Vypisovat všechny dělitele nebo násobky je u velkých čísel zdlouhavé. Existuje rychlejší cesta: rozložit čísla na nejmenší kousky – prvočísla – a porovnat je.

Tenhle postup budeš potřebovat hlavně u zlomků: ke krácení (NSD) a ke společnému jmenovateli (nsn).

Nové pojmy

PrvočísloČíslo s přesně dvěma děliteli: 1 a sebou samým.2, 3, 5, 7, 11, 13…

Rozklad na prvočiniteleZápis čísla jako součinu samých prvočísel. Stejná prvočísla se píšou mocninou.12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3

ExponentMalé číslo nahoře u mocniny. Říká, kolikrát se číslo násobí samo sebou.V 2² je exponent 2 (2 · 2). V 2³ je exponent 3 (2 · 2 · 2).

D(a, b) a n(a, b)D(a, b) je největší společný dělitel čísel a, b. n(a, b) je jejich nejmenší společný násobek.D(12, 18) = 6, n(12, 18) = 36

Nesoudělná číslaDvě čísla, která nemají žádného společného dělitele kromě 1. Jejich D = 1.8 a 15: D(8, 15) = 1

Postup krok za krokem

Rozlož obě čísla na prvočinitele: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3².

NSD: vezmi jen prvočísla, která jsou v obou, každé s menším exponentem: 2¹ · 3¹ = 6.

nsn: vezmi všechna prvočísla, která se objeví, každé s větším exponentem: 2² · 3² = 36.

číslo	rozklad
12	2² · 3
18	2 · 3²
D(12, 18)	2 · 3 = 6
n(12, 18)	2² · 3² = 36

D(24, 36) = ?

24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². Společné: 2 (menší exponent 2) a 3 (menší exponent 1). D = 2² · 3 = 12.

n(6, 8) = ?

6 = 2 · 3, 8 = 2³. Všechna prvočísla s větším exponentem: 2³ · 3 = 24.

Kontrola: součin D a n se rovná součinu obou čísel. 6 · 36 = 216 a 12 · 18 = 216 ✓.

✗n(3, 5) = 1, protože nemají nic společného.

✓n(3, 5) = 15. Je to D(3, 5), co se rovná 1.

Nesoudělná čísla mají NSD 1, ale jejich nsn je jejich součin: 3 · 5 = 15.

Procvič si: otoč kartičku a zkontroluj výsledek.

D(9, 12) – 3
n(9, 12) – 36
D(7, 14) – 7
n(2, 7) – 14

Rozlož na prvočinitele. NSD = společná prvočísla s menším exponentem. nsn = všechna prvočísla s větším exponentem. D(a, b) · n(a, b) = a · b.

💎Prvočísla a rozklad📐Úhel a jeho velikost