📊 Statistika

Platy ve firmě

O čem to je

Ve firmě pracuje 5 lidí. Čtyři berou 20, 22, 24 a 26 tisíc, šéf 108 tisíc. Inzerát hlásá: „Průměrný plat u nás je 40 000 Kč!“ Je to pravda – a přesto to zavádí.

Statistika popisuje velké množství čísel několika málo údaji. Musíš ale vědět, co který údaj říká, abys nenaletěl novinám, reklamě ani politikům.

Nové pojmy

Statistický souborSkupina hodnot, které zkoumáme.Platy pěti zaměstnanců: 20, 22, 24, 26, 108.
Aritmetický průměrSoučet všech hodnot dělený jejich počtem. „Kdyby se všechno rozdělilo rovným dílem.“(20 + 22 + 24 + 26 + 108) / 5 = 200 / 5 = 40.
MediánProstřední hodnota, když čísla seřadíš podle velikosti. Při sudém počtu je to průměr dvou prostředních.Platy 20, 22, 24, 26, 108 → medián 24.
ModusHodnota, která se v souboru vyskytuje nejčastěji.Známky 1, 2, 2, 2, 3 → modus 2.

Podívej se na data

Šéfův sloupec je pětkrát delší než ostatní. Tahle jediná hodnota vytáhne průměr na 40, i když čtyři lidé z pěti berou méně než 27.

Medián (24) popisuje „typického zaměstnance“ mnohem lépe. Je odolný vůči extrémním hodnotám – šéf by mohl brát i milion a medián se nezmění.

✗Průměrný plat je 40 000 Kč, takže většina lidí bere kolem 40 000.
✓Většina bere 20–26 tisíc, typickou hodnotu ukáže medián 24 000.

Průměr je citlivý na extrémně velké nebo malé hodnoty. U platů, cen bytů apod. se proto uvádí medián.

Jak moc se data rozcházejí

Dvě třídy mají průměr známek 3. V jedné mají všichni trojku, ve druhé půlka jedničky a půlka pětky. Průměr je stejný, ale třídy jsou úplně jiné. To měří rozptyl.

Rozptyl a směrodatná odchylkaRozptyl: u každé hodnoty spočítej, jak daleko je od průměru, umocni na druhou a z toho udělej průměr. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu – „typická vzdálenost od průměru“.Malá odchylka = data blízko u sebe, velká = rozházená.
Soubor 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Urči průměr, medián a modus.
Průměr: 40 / 8 = 5. Medián: prostřední jsou 4 a 5 → 4,5. Modus: nejčastěji 4 (třikrát) → 4.
Urči rozptyl a směrodatnou odchylku téhož souboru.
Odchylky od 5: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4. Druhé mocniny: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → součet 32. Rozptyl 32 / 8 = 4, směrodatná odchylka √4 = 2.

Relativní četnost říká, jaká část souboru má danou hodnotu: 6 jedniček z 24 žáků = 6/24 = 25 %.

Průměr = součet / počet, medián = prostřední hodnota, modus = nejčastější. Medián je odolný vůči extrémům. Rozptyl a směrodatná odchylka měří, jak jsou data rozházená.

Postupy výpočtu

O čem to je

Výsledky přijímaček, měření teploty, ankety – všude dostaneš hromadu čísel. Abys je mohl porovnat, shrneš je do několika charakteristik: kde je střed a jak jsou data rozházená.

Tady jsou přesné postupy výpočtu krok za krokem.

Nové pojmy

Hodnoty a rozsah souboruHodnoty x₁, x₂, …, xₙ jsou zjištěná čísla, n (rozsah) je jejich počet.Známky 1, 1, 2, 3, 3: n = 5.
ČetnostAbsolutní četnost = kolikrát se hodnota vyskytne. Relativní četnost = absolutní četnost / n (často v %).6 jedniček z 24 žáků: relativní četnost 6/24 = 0,25 = 25 %.
Míry polohyČísla, která říkají, kde je „střed“ dat: průměr, medián, modus.
Míry variabilityČísla, která říkají, jak moc jsou data rozptýlená: rozptyl, směrodatná odchylka.

Vzorce

CharakteristikaJak spočítat
aritmetický průměr x̄(x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
mediánseřaď; lichý počet → prostřední hodnota, sudý → průměr dvou prostředních
modusnejčastější hodnota
rozptyl s²průměr druhých mocnin odchylek: ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n
směrodatná odchylka s√(rozptyl)

Postup pro rozptyl

Spočítej průměr x̄.
U každé hodnoty spočítej odchylku xᵢ − x̄.
Každou odchylku umocni na druhou (aby se kladné a záporné nevyrušily).
Sečti a vyděl n – to je rozptyl.
Odmocni – to je směrodatná odchylka.
Soubor 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: rozptyl a směrodatná odchylka.
x̄ = 40/8 = 5. Odchylky na druhou: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, součet 32. s² = 32/8 = 4, s = 2.
Známky 1, 1, 2, 3, 3. Průměr a medián?
Průměr 10/5 = 2. Seřazeno 1, 1, 2, 3, 3 → medián 2.

Podívej se na četnosti známek ve třídě 24 žáků. Modus je hodnota s nejdelším sloupcem.

Platy (tis. Kč) 20, 22, 24, 26, 108. Průměr a medián?
Průměr 200/5 = 40. Medián 24. Velký rozdíl ukazuje, že soubor obsahuje extrémní hodnotu.
✗Medián souboru 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 je 4 (čtvrté číslo).
✓Medián je (4 + 5)/2 = 4,5

Při sudém počtu hodnot (8) nejsou jedna, ale dvě prostřední (4. a 5.). Medián je jejich průměr.

Střed dat: průměr (citlivý na extrémy), medián (prostřední, odolný), modus (nejčastější). Rozptyl = průměr druhých mocnin odchylek od průměru, směrodatná odchylka = jeho odmocnina.
🎲Pravděpodobnost🌀Komplexní čísla