🌀 Komplexní čísla

Nová osa

O čem to je

Kdysi lidé říkali: „3 − 5 nejde spočítat.“ Pak vymysleli záporná čísla. Dnes říkáš: „√(−4) nejde spočítat – žádné číslo na druhou nedá záporný výsledek.“ Matematici to vyřešili stejně: vymysleli nové číslo.

Komplexní čísla zní exoticky, ale bez nich by nefungovala elektrotechnika (střídavý proud), kvantová fyzika ani zpracování zvuku a obrazu v mobilu.

Nové pojmy

Imaginární jednotka iNové číslo s vlastností i² = −1. Žádné reálné číslo to neumí – proto je i „mimo“ číselnou osu.√(−4) = 2i, protože (2i)² = 4 · i² = −4.
Komplexní čísloČíslo z = a + bi, kde a, b jsou reálná čísla. Množinu všech komplexních čísel značíme ℂ.3 − 7i, 2i, 5 (to je 5 + 0i).
Reálná a imaginární částV z = a + bi je Re(z) = a (reálná část) a Im(z) = b (imaginární část – číslo bez i).Re(3 − 7i) = 3, Im(3 − 7i) = −7.

Každé reálné číslo je komplexní s b = 0. Proto ℝ ⊂ ℂ – reálná čísla jsou uvnitř komplexních.

Gaussova rovina: číselná osa dostane druhý rozměr

Reálná čísla leží na vodorovné ose. Imaginární (2i, −i, …) postavíme na svislou osu. Číslo a + bi je pak bod [a; b] – a doprava, b nahoru.

Absolutní hodnota |z|Vzdálenost bodu z od počátku. Podle Pythagorovy věty |a + bi| = √(a² + b²).|3 + 4i| = √(9 + 16) = 5.

Nastav odvěsny 3 a 4 – to je reálná a imaginární část. Přepona je |3 + 4i| = 5.

Počítání: jako s mnohočleny, jen i² = −1

(2 + 3i) + (1 − i) = ?
Reálné zvlášť, imaginární zvlášť: (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i.
(1 + i)² = ?
Podle (a + b)²: 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.

Mocniny i se točí dokola

i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = (i²)² = 1, a pak znovu i, −1, −i, 1… Opakuje se to po čtyřech. Proto i¹⁰⁰ = 1 (100 je dělitelné 4).

Řeš x² + 4 = 0.
x² = −4. V reálných číslech řešení není, v komplexních ano: x = ±√(−4) = ±2i. Zkouška: (2i)² = −4 ✓.
✗Im(3 − 7i) = −7i
✓Im(3 − 7i) = −7

Imaginární část je reálné číslo, které stojí u i. Samotné i se do ní nepíše.

i² = −1. Komplexní číslo a + bi je bod [a; b] v Gaussově rovině, |z| = √(a² + b²). Počítá se jako s mnohočleny, i² nahradíš −1. Mocniny i se opakují po 4.

Algebraický tvar

O čem to je

Kvadratická rovnice se záporným diskriminantem „nemá řešení“ – v reálných číslech. V komplexních číslech má každá kvadratická rovnice řešení. Komplexní čísla tak dělají algebru úplnou.

Tady se naučíš čtyři základní operace a kdy použít komplexně sdružené číslo.

Nové pojmy

Imaginární jednotkaČíslo i, pro které i² = −1.
Algebraický tvarz = a + bi, kde a = Re(z) je reálná část a b = Im(z) imaginární část (obě reálná čísla).z = 3 − 7i: Re = 3, Im = −7.
Komplexně sdružené číslo z̄Číslo se stejnou reálnou částí a opačnou imaginární: k a + bi je to a − bi. V Gaussově rovině je to zrcadlo podle vodorovné osy.K 2 − 5i je sdružené 2 + 5i.
Absolutní hodnota|a + bi| = √(a² + b²) – vzdálenost od počátku.|3 + 4i| = 5.

Operace

OperaceJakPříklad
sčítáníreálné + reálné, imaginární + imaginární(2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i
násobeníroznásob, i² = −1(1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2
z · z̄vždy reálné: a² + b²(3 + 4i)(3 − 4i) = 25
dělenírozšiř zlomek sdruženým jmenovatelemviz příklad níže

Postup dělení

Najdi číslo komplexně sdružené ke jmenovateli.
Vynásob jím čitatele i jmenovatele.
Jmenovatel je teď reálný: a² + b².
Roznásob čitatel, nahraď i² = −1 a zapiš výsledek.
(2 + i)/(1 − i) = ?
Rozšířím (1 + i): čitatel (2 + i)(1 + i) = 2 + 2i + i + i² = 1 + 3i. Jmenovatel (1 − i)(1 + i) = 1 + 1 = 2. Výsledek (1 + 3i)/2.

Kvadratická rovnice v ℂ

Postupuješ jako obvykle, jen pro D < 0 je √D = i · √|D|. Kořeny jsou pak dvojice komplexně sdružených čísel.

Řeš x² + 4 = 0 a x² + 2x + 5 = 0.
x² = −4 → x = ±2i. Druhá: D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.

Parabola y = x² + 2x + 5 osu x neprotíná – proto nemá reálné kořeny. Posuň c dolů, dokud se osy nedotkne (D = 0), a uvidíš hranici mezi reálnými a komplexními kořeny.

✗(1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 1 − 1 = 0
✓1 − i² = 1 − (−1) = 2

i² není 1, ale −1. Mínus před i² se tak změní na plus.

Mocniny i se opakují: i, −1, −i, 1. Proto i³ = −i a i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1.

z = a + bi, i² = −1. Sčítej po částech, násob roznásobením. Děl rozšířením sdruženým číslem jmenovatele. Pro D < 0 má kvadratická rovnice dva komplexně sdružené kořeny.
📊Statistika🧭Goniometrický tvar a Moivreova věta