🧭 Goniometrický tvar a Moivreova věta

Otáčení a natahování

O čem to je

Komplexní číslo je bod v rovině. Bod můžeš popsat dvěma způsoby: „3 doprava a 4 nahoru“ – nebo „5 kroků pod úhlem 53°“. Ten druhý popis je jako navigace kompasem: vzdálenost a směr.

A má kouzelnou vlastnost: násobení komplexních čísel se v něm změní na otáčení a natahování. Proto ho používá elektrotechnika (fáze proudu) a počítačová grafika (rotace).

Nové pojmy

Komplexní číslo a Gaussova rovinaz = a + bi, kde i² = −1. Zobrazíme ho jako bod [a; b]: reálná část vodorovně, imaginární svisle.
Absolutní hodnota |z|Vzdálenost bodu od počátku: |z| = √(a² + b²).|1 + i| = √(1 + 1) = √2.
Argument φÚhel, o který musíš otočit kladnou reálnou poloosu (směr „doprava“), abys mířil na bod z. Měří se proti směru hodinových ručiček.i leží nahoře → argument 90°. −1 leží vlevo → 180°.

Zkus si úhly: nastav 45° (směr k číslu 1 + i), 90° (číslo i), 180° (číslo −1).

Goniometrický tvarz = |z| · (cos φ + i sin φ). Je to tentýž bod zapsaný vzdáleností a úhlem. (cos φ a sin φ jsou souřadnice bodu na kružnici s poloměrem 1.)1 + i = √2 · (cos 45° + i sin 45°) = √2(cos π/4 + i sin π/4).

Násobení = natáhni a otoč

Při násobení dvou komplexních čísel se absolutní hodnoty násobí a argumenty sčítají. Násobení číslem i je tedy otočení o 90° (|i| = 1, argument 90°).

|z₁| = 2, |z₂| = 3. Kolik je |z₁ · z₂|?
Vzdálenosti se násobí: 2 · 3 = 6.

Mocnina = opakované otáčení

Moivreova věta(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ. Umocnit na n znamená otočit n-krát o φ.(cos 30° + i sin 30°)³ = cos 90° + i sin 90° = i.
Spočítej (1 + i)⁴.
1 + i má |z| = √2 a argument 45°. Na čtvrtou: |z|⁴ = (√2)⁴ = 4, argument 4 · 45° = 180°. Bod ve vzdálenosti 4 směrem doleva: −4.
✗(cos φ + i sin φ)ⁿ = cosⁿ φ + i sinⁿ φ
✓(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ

Mocnina neumocňuje kosinus a sinus zvlášť – násobí úhel. Je to otočení n-krát o φ.

Odmocniny: pravidelný mnohoúhelník

Rovnice z³ = 1 má v ℂ tři kořeny: 1 a dvě další čísla s |z| = 1 a argumenty 120° a 240°. Třikrát otočeno o 120° dá 360° – zpátky na 1. Kořeny leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku.

Obecně zⁿ = a má n kořenů ve vrcholech pravidelného n-úhelníku se středem v počátku.

z = |z|(cos φ + i sin φ): |z| = vzdálenost, φ = úhel. Při násobení se |z| násobí a argumenty sčítají. Moivre: n-tá mocnina = n-násobný úhel. zⁿ = a má n kořenů v pravidelném n-úhelníku.

Převod a výpočty

O čem to je

Spočítat (1 + i)²⁰ roznásobováním by trvalo věčnost. V goniometrickém tvaru je to na dva řádky. Proto se vyplatí umět mezi tvary přecházet.

Algebraický tvar a + bi je dobrý na sčítání. Goniometrický na násobení, dělení, mocniny a odmocniny.

Nové pojmy

Algebraický tvarz = a + bi, a je reálná část, b imaginární část, i² = −1.
Absolutní hodnota a argument|z| = √(a² + b²) je vzdálenost od počátku. Argument φ je úhel od kladné reálné poloosy, pro který cos φ = a/|z| a sin φ = b/|z|.z = 1 + i: |z| = √2, cos φ = sin φ = 1/√2 → φ = 45° = π/4.
Goniometrický tvarz = |z|(cos φ + i sin φ).

Převod z a + bi

Spočítej |z| = √(a² + b²).
Spočítej cos φ = a/|z|, sin φ = b/|z|.
Podle znamének a, b urči, ve kterém kvadrantu bod leží, a najdi φ.
Zapiš z = |z|(cos φ + i sin φ).

První krok je Pythagorova věta: pro 1 + i nastav odvěsny 1 a 1, přepona je √2.

Převeď 1 + i do goniometrického tvaru.
|z| = √2, cos φ = sin φ = √2/2, bod je v I. kvadrantu → φ = π/4. z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Argument čísel i a −1?
i = [0; 1] leží na kladné imaginární poloose → 90°. −1 = [−1; 0] leží na záporné reálné poloose → 180°.

Pravidla

OperaceAbsolutní hodnotaArgument
z₁ · z₂|z₁| · |z₂|φ₁ + φ₂
z₁ / z₂|z₁| / |z₂|φ₁ − φ₂
zⁿ (Moivreova věta)|z|ⁿn · φ
ⁿ√z (n kořenů)ⁿ√|z|(φ + 2kπ)/n, k = 0, …, n − 1
Spočítej (1 + i)⁴.
(√2)⁴ = 4, argument 4 · π/4 = π. z⁴ = 4(cos π + i sin π) = 4 · (−1) = −4.
Najdi všechny kořeny z³ = 1.
|z| = 1, argumenty (0 + 2kπ)/3: 0, 2π/3, 4π/3. Kořeny: 1, cos 120° + i sin 120° = −1/2 + i√3/2 a −1/2 − i√3/2. Tři kořeny.

Kořeny kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a D < 0 jsou vždy komplexně sdružené (a ± bi). Např. x² + 2x + 5 = 0: D = −16, x = −1 ± 2i.

✗Argument čísla −1 je −1 (nebo 0°).
✓Argument −1 je 180° (π).

Argument je úhel, ne číslo samotné. Bod −1 leží vlevo od počátku, do jeho směru se otočíš o půl otáčky.

|z| = √(a² + b²), φ z cos φ = a/|z|, sin φ = b/|z|. Násobení: |z| násob, φ sčítej. Mocnina: |z|ⁿ, nφ. n-tá odmocnina má n kořenů s argumenty (φ + 2kπ)/n.
🌀Komplexní čísla🎯Limita