🎯 Limita

Přibližování

O čem to je

Jdeš ke zdi a pokaždé ujdeš polovinu zbývající vzdálenosti. Zdi se nikdy přesně nedotkneš, ale blížíš se jí libovolně těsně. Matematik řekne: limita tvé vzdálenosti je 0.

Limita je základ celé vyšší matematiky. Bez ní nejde definovat okamžitou rychlost (derivaci), plochu pod křivkou (integrál) ani číslo e.

Nové pojmy

Limita posloupnostiČíslo, ke kterému se členy posloupnosti blíží, když n roste nade všechny meze. Zápis lim (n→∞) aₙ = L.1/n: 1, 1/2, 1/3, … 1/1000 … se blíží 0. lim (n→∞) 1/n = 0.
Limita funkce v bodělim (x→a) f(x) = L znamená: když se x blíží k a (ale není rovno a), hodnoty f(x) se blíží k L. Co se děje přímo v a, je jedno.

Podívej se, jak členy 1/n rychle klesají k nule. Nikdy jí nedosáhnou, ale dostanou se k ní libovolně blízko.

Díra v grafu

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Pro x = 2 dostaneš 0/0 – to nejde. Ale zkus se přiblížit: x = 1,9 → 3,9; x = 1,99 → 3,99; x = 2,01 → 4,01. Hodnoty se blíží ke 4.

Proč? x² − 4 = (x − 2)(x + 2), takže pro x ≠ 2 je f(x) = x + 2. Graf je přímka y = x + 2 s „dírou“ v bodě [2; 4]. Limita je 4, i když f(2) neexistuje.

lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1) = ?
Rozložím: (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 pro x ≠ 1. Dosadím: 1 + 1 = 2.

Zleva a zprava

Pro 1/x: když se x blíží k 0 zprava (0,1; 0,01; …), hodnoty jsou 10, 100, … → +∞. Zleva (−0,1; −0,01) jsou −10, −100 → −∞. Zleva a zprava vyjde něco jiného, a proto lim (x→0) 1/x neexistuje.

SpojitostFunkce je spojitá v bodě a, když lim (x→a) f(x) = f(a) – graf jde „nakreslit jedním tahem“ bez díry a skoku.2x + 1 je spojitá: lim (x→3) (2x + 1) = 7 = f(3).

Dvě slavné limity

  • lim (x→0) sin x / x = 1 – pro malé úhly v radiánech je sin x ≈ x.
  • lim (x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e ≈ 2,718 – Eulerovo číslo, vzniká třeba u úroku připisovaného stále častěji.
✗lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2) neexistuje, protože vyjde 0/0.
✓Limita je 4.

„0/0“ je jen signál, že musíš výraz upravit (zkrátit). Limita se ptá, co se děje blízko bodu 2, ne v něm.

Limita = hodnota, ke které se funkce blíží, když se x blíží k a (nebo k ∞). Typ 0/0 vyřeš rozkladem a zkrácením. Funkce je spojitá, když limita = funkční hodnota.

Výpočetní triky

O čem to je

Ekonom se ptá: k čemu se blíží průměrné náklady na kus, když vyrábíme pořád víc? Fyzik: jaká je rychlost v jednom okamžiku? Obojí jsou limity a počítají se několika standardními triky.

Tady je přehled typů limit a postup pro každý z nich.

Nové pojmy

Limitalim (x→a) f(x) = L: f(x) se libovolně blíží k L, když se x blíží k a (x ≠ a). Místo a může být i ∞ („x roste nade všechny meze“).
Nevlastní limitaKdyž hodnoty rostou nade všechny meze, píšeme limitu +∞ (nebo −∞ při klesání).lim (x→0⁺) 1/x = +∞ (0⁺ = blížím se k nule zprava, z kladných čísel).
Neurčitý výrazTvar jako 0/0 nebo ∞/∞, ze kterého výsledek nepoznáš – výraz musíš nejdřív upravit.

Postupy podle typu

TypPostupPříklad
spojitá funkce, x → aprostě dosaďlim (x→3) (2x + 1) = 7
0/0 u mnohočlenůrozlož, zkrať, dosaďlim (x→2) (x² − 4)/(x − 2) = 4
∞/∞ u mnohočlenůvyděl nejvyšší mocninoulim (n→∞) (2n + 1)/(n + 3) = 2
1/x, 1/x² pro x → ∞jsou 0lim (x→∞) 1/x² = 0

Limita v nekonečnu

Najdi nejvyšší mocninu n ve jmenovateli.
Vyděl jí čitatele i jmenovatele.
Členy typu 1/n, 1/n² jdou k nule – nahraď je nulou.
Spočítej, co zbylo.
lim (n→∞) (2n + 1)/(n + 3) = ?
Dělím n: (2 + 1/n)/(1 + 3/n). 1/n → 0 a 3/n → 0, zbyde 2/1 = 2.
lim (n→∞) (3n² − n)/(n² + 5) = ?
Dělím n²: (3 − 1/n)/(1 + 5/n²) → 3/1 = 3.

Podívej se, jak se (2n + 1)/(n + 3) pro rostoucí n přibližuje ke 2.

Typ 0/0

lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2) = ?
Dosazením 0/0. Rozložím: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2. Dosadím: 4.

Spojitost a jednostranné limity

  • f je spojitá v a ⇔ lim (x→a) f(x) = f(a).
  • Limita existuje, jen když limita zleva = limita zprava. U 1/x v nule: zleva −∞, zprava +∞ → neexistuje.
  • Známé limity: lim (x→0) sin x / x = 1, lim (x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e.
✗lim (n→∞) (2n + 1)/(n + 3) = 1, protože nahoře i dole je ∞.
✓Limita je 2.

∞/∞ není 1 – je to neurčitý výraz. Rozhoduje poměr koeficientů u nejvyšší mocniny (2 : 1).

Spojitá funkce: dosaď. 0/0: rozlož a zkrať. ∞/∞: vyděl nejvyšší mocninou. Limita existuje, jen když se shodují limity zleva a zprava.
🧭Goniometrický tvar a Moivreova věta🏎️Derivace