🏎️ Derivace

Tachometr

O čem to je

Ujedeš 120 km za 2 hodiny – průměrná rychlost 60 km/h. Ale tachometr ukazuje rychlost v tomto okamžiku: teď 50, teď 90. Jak spočítat rychlost v jediném okamžiku, když za nulový čas neujedeš nic?

Odpověď je derivace. Říká, jak rychle se něco mění právě teď: rychlost auta, růst populace, změna ceny. Je to nejpoužívanější nástroj vyšší matematiky.

Nové pojmy

Průměrná rychlost změnyO kolik se změnila hodnota, děleno tím, za jak dlouho: (f(b) − f(a)) / (b − a).Dráha s(t) = t²: mezi 4 a 5 s je to (25 − 16)/1 = 9 m/s.

Derivace f′(a)Okamžitá rychlost změny: zmenšuješ časový úsek pořád víc a díváš se, k čemu se průměrná rychlost blíží (limita).s(t) = t²: v čase 4 s je okamžitá rychlost 8 m/s.

Zmenšuj úsek

s(t) = t². Průměrná rychlost od 4 s do: 5 s → 9; 4,1 s → 8,1; 4,01 s → 8,01; 4,001 s → 8,001. Blíží se k 8. To je okamžitá rychlost v čase 4 s: s′(4) = 8.

Obecně pro x²: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Pro h → 0 zbyde 2x. Proto (x²)′ = 2x.

Obrázek: sklon tečny

TečnaPřímka, která se grafu v daném bodě jen „dotkne“ a má stejný směr jako graf.Tečna k y = x² v bodě [1; 1] je y = 2x − 1.

Derivace v bodě je směrnice tečny – jak strmě graf v tom místě stoupá. Pro y = x² v bodě x = 1: f′(1) = 2. Nastav přímku y = 2x − 1 (k = 2, q = −1) – dotýká se paraboly v bodě [1; 1]. Zkus změnit k – přímka parabolu buď protne, nebo mine.

Pravidla, která z toho vyjdou

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ – exponent dolů a o jedna menší: (x³)′ = 3x².
Konstanta se nemění → její derivace je 0.
(5x − 2)′ = 5 – přímka má všude stejný sklon.
(sin x)′ = cos x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x. (e ≈ 2,718 je Eulerovo číslo, ln je logaritmus se základem e.)
Součin: (f · g)′ = f′g + fg′, např. (x · eˣ)′ = eˣ + x eˣ.
Funkce „ve funkci“: zderivuj vnější a vynásob derivací vnitřku – (sin 2x)′ = cos 2x · 2.

f(x) = x³ − 3x. Kolik je f′(2)?

f′(x) = 3x² − 3. f′(2) = 3 · 4 − 3 = 9.

Dráha s(t) = t² (m). Okamžitá rychlost v čase 4 s?

s′(t) = 2t, s′(4) = 8 m/s.

✗(x³)′ = 3x³

✓(x³)′ = 3x²

Exponent jde dolů jako činitel a zároveň se o jedničku zmenší.

Derivace = okamžitá rychlost změny = směrnice tečny ke grafu. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, derivace konstanty je 0.

Pravidla derivování

O čem to je

Počítat derivaci pokaždé přes limitu je zdlouhavé. Stačí znát derivace pár základních funkcí a tři pravidla, jak je kombinovat. Pak zderivuješ prakticky cokoli.

Derivaci potřebuješ k hledání maxim a minim, k fyzice (rychlost, zrychlení) i ekonomii (mezní náklady).

Nové pojmy

Derivacef′(x) = lim (h→0) (f(x + h) − f(x))/h. Udává okamžitou rychlost změny f a směrnici tečny ke grafu.

Složená funkceFunkce „ve funkci“: nejdřív spočítáš vnitřek, pak na něj použiješ vnější funkci.sin 2x: vnitřní 2x, vnější sin.

Eulerovo číslo e a lne ≈ 2,718 je konstanta, pro kterou má eˣ sama sebe jako derivaci. ln je logaritmus se základem e.

Tabulka základních derivací

f(x)	f′(x)
c (konstanta)	0
xⁿ	n · xⁿ⁻¹
√x = x^(1/2)	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x

Procvič si tabulku. Nejdřív odpověz, pak kartičku otoč.

(x³)′ – 3x²
(5x − 2)′ – 5
(sin x)′ – cos x
(eˣ)′ – eˣ
(ln x)′ – 1/x
(√x)′ – 1/(2√x)

Tři pravidla

Pravidlo	Vzorec	Příklad
součet a násobek	(c·f + g)′ = c·f′ + g′	(x³ − 3x)′ = 3x² − 3
součin	(f · g)′ = f′g + fg′	(x · eˣ)′ = eˣ + x eˣ
složená funkce	(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)	(sin 2x)′ = cos 2x · 2

Rozlož funkci na součet, součin nebo složení.

Každou část zderivuj podle tabulky.

Spoj výsledky podle pravidla.

Chceš-li hodnotu v bodě, dosaď až nakonec.

Zderivuj x · eˣ.

Součin: f = x, g = eˣ. f′ = 1, g′ = eˣ. (x eˣ)′ = 1 · eˣ + x · eˣ = eˣ + x eˣ.

Zderivuj sin 2x.

Vnější sin → cos (vnitřek nech), krát derivace vnitřku (2x)′ = 2: 2 cos 2x.

Směrnice tečny ke grafu y = x² v bodě [1; 1]?

y′ = 2x, v bodě 1: 2. Tečna je y = 2x − 1.

Ověř si sklon na grafu: parabola y = x² v bodě [1; 1] stoupá stejně strmě jako přímka s k = 2. Posuň b a c a sleduj, jak se mění strmost v různých místech.

✗(sin 2x)′ = cos 2x

✓(sin 2x)′ = 2 cos 2x

U složené funkce musíš násobit derivací vnitřku. Zapomenutá vnitřní derivace je nejčastější chyba.

Tabulka: (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x. Součin: f′g + fg′. Složená: vnější derivace · vnitřní derivace.

🎯Limita⛰️Průběh funkce a extrémy