⛰️ Průběh funkce a extrémy

Túra po grafu

O čem to je

Jdeš po horském hřebeni zleva doprava. Když stoupáš, je sklon kladný. Když klesáš, záporný. Na vrcholu i na dně údolí jdeš na okamžik po rovině – sklon je nula.

Derivace je právě ten sklon. Díky ní najdeš maximum zisku, minimum nákladů, nejmenší spotřebu materiálu – kdekoli hledáš „nejvíc“ nebo „nejméně“.

Nové pojmy

Derivace f′(x)Sklon grafu v bodě x (směrnice tečny). f′ > 0: graf stoupá, f′ < 0: klesá.f(x) = x²: f′(x) = 2x. Pro x = −1 je sklon −2 (klesá), pro x = 1 je +2 (stoupá).
Lokální maximum a minimumVrchol kopce (maximum) a dno údolí (minimum) – v okolí bodu není graf výš (resp. níž). Společně se jim říká extrémy.
Stacionární bodBod, kde f′(x) = 0 – sklon je vodorovný.f(x) = x² − 6x: f′ = 2x − 6 = 0 → x = 3.

Najdi vrchol

Parabola y = −x² + 4x je kopec. Najdi na grafu vrchol: x = 2, výška 4. V něm tečna leží vodorovně. Zkus změnit b – vrchol se posune.

Jaká je maximální hodnota f(x) = −x² + 4x?
f′(x) = −2x + 4 = 0 → x = 2. Vlevo od 2 je f′ > 0 (stoupá), vpravo f′ < 0 (klesá) → vrchol, maximum. f(2) = −4 + 8 = 4.

Pozor na rovinku, která není vrchol

f(x) = x³: f′(x) = 3x², v nule je f′(0) = 0. Ale x³ stoupá před nulou i za ní – v nule je jen na chvíli „rovinka“, žádný kopec ani údolí.

✗f′(a) = 0, takže v a je extrém.
✓Extrém je tam jen tehdy, když f′ v bodě a mění znaménko.

U x³ je f′ = 3x² vlevo i vpravo od nuly kladná. Funkce pořád roste, extrém nemá.

f(x) = x³ − 3x. Kolik má stacionárních bodů a kde je lokální maximum?
f′ = 3x² − 3 = 0 → x = −1 nebo x = 1 (2 body). Před −1 je f′ > 0, mezi −1 a 1 záporná → v −1 maximum, f(−1) = −1 + 3 = 2. V 1 je minimum f(1) = −2.

Prohnutí: miska a deštník

Konvexní a konkávníKonvexní graf je prohnutý jako miska (∪), konkávní jako deštník (∩). Rozhoduje druhá derivace f″ (derivace derivace): f″ > 0 konvexní, f″ < 0 konkávní.
Inflexní bodMísto, kde se miska mění na deštník nebo naopak. f″ tam mění znaménko.x³: f″ = 6x, mění znaménko v 0 → inflexní bod x = 0.
Obdélník má obvod 20 cm. Jaký největší obsah může mít?
Strany x a 10 − x. Obsah S = x(10 − x) = 10x − x². S′ = 10 − 2x = 0 → x = 5. Čtverec 5 × 5, obsah 25 cm².
f′ > 0 roste, f′ < 0 klesá. Extrémy hledej v bodech f′ = 0, ale jen tam, kde f′ mění znaménko (+ → − maximum, − → + minimum). f″ určuje prohnutí, inflexe = změna prohnutí.

Algoritmus

O čem to je

„Vyšetři průběh funkce“ je klasická maturitní úloha. Zní složitě, ale je to pevný seznam kroků – jako recept. Kdo ho dodrží, nic nevynechá.

Stejný postup používá inženýr, když hledá nejlevnější tvar nádoby, nebo ekonom, když hledá cenu s největším ziskem.

Nové pojmy

Derivace a druhá derivacef′ je derivace (sklon grafu), f″ je derivace z f′ (jak se mění sklon).f = x³ − 3x: f′ = 3x² − 3, f″ = 6x.
Stacionární bodBod, kde f′(x) = 0.
Lokální extrémLokální maximum (v okolí nejvyšší hodnota) nebo minimum (nejnižší).
Konvexní / konkávní / inflexní bodf″ > 0: konvexní (∪). f″ < 0: konkávní (∩). Inflexní bod: f″ v něm mění znaménko.

Souvislosti

PodmínkaVýznam
f′ > 0 na intervaluf tam roste
f′ < 0 na intervaluf tam klesá
f′ mění znaménko + → −lokální maximum
f′ mění znaménko − → +lokální minimum
f′(a) = 0 a f″(a) > 0lokální minimum
f′(a) = 0 a f″(a) < 0lokální maximum
f″ mění znaménkoinflexní bod

Postup

Urči definiční obor.
Spočítej f′ a vyřeš f′ = 0 → stacionární body.
Na ose vyznač stacionární body a urči znaménko f′ v každém intervalu (dosaď číslo).
Z tabulky znamének přečti, kde f roste, klesá a kde jsou extrémy. Spočítej jejich hodnoty.
Spočítej f″, najdi kde mění znaménko → prohnutí a inflexní body.
Načrtni graf.
f(x) = x³ − 12x. Kde je lokální minimum?
f′ = 3x² − 12 = 0 → x = ±2. Znaménka f′: pro x = −3: 15 > 0; pro x = 0: −12 < 0; pro x = 3: 15 > 0. V −2 je + → − (maximum), v x = 2 je − → + (minimum). f(2) = 8 − 24 = −16.
f(x) = x² − 6x: stacionární bod a jeho typ?
f′ = 2x − 6 = 0 → x = 3. f″ = 2 > 0 → minimum, f(3) = −9.

Na grafu je y = x² − 6x + 6 – tatáž funkce posunutá o 6 nahoru, aby se vrchol vešel do obrázku. Vrchol je v [3; −3]: stacionární bod x = 3 se posunem nezměnil. Hýbej c a sleduj, že vrchol zůstává nad x = 3.

Slovní úloha na extrém

Vyjádři veličinu, kterou chceš maximalizovat/minimalizovat, jako funkci jedné proměnné.
Najdi stacionární bod.
Ověř, že jde o maximum/minimum.
Odpověz na otázku ze zadání.
Obdélník s obvodem 20 cm a největším obsahem?
S(x) = x(10 − x). S′ = 10 − 2x = 0 → x = 5, S″ = −2 < 0 → maximum. Obsah 25 cm².
✗f(x) = x³ má v 0 extrém, protože f′(0) = 0.
✓Nemá – je tam inflexní bod.

f′ = 3x² je kolem nuly kladná na obou stranách, funkce pořád roste. Nulová derivace je jen nutná podmínka, ne postačující.

Algoritmus: D(f) → f′ = 0 → znaménka f′ → extrémy → f″ → prohnutí a inflexe → graf. Extrém je jen tam, kde f′ mění znaménko.
🏎️Derivace🧱Integrál – úvod