🧱 Integrál – úvod

Plocha pod křivkou

O čem to je

Auto jede stálou rychlostí 50 km/h po dobu 2 hodin – ujede 100 km. Na grafu rychlosti je to obdélník 2 × 50 a jeho obsah je ujetá dráha. Co když ale rychlost pořád kolísá? Pak je dráha obsah plochy pod křivou čarou.

Integrál umí spočítat obsah pod libovolnou křivkou. Fyzik z něj počítá dráhu, práci nebo spotřebu energie, inženýr objem nádrže, statistik pravděpodobnosti.

Nové pojmy

Určitý integrál ∫ₐᵇ f(x) dxObsah plochy mezi grafem f, osou x a svislými čarami x = a a x = b (pro f ≥ 0). Znak ∫ je protažené S jako „suma“, dx připomíná, že sčítáme po tenkých proužcích ve směru x.∫₁³ 2 dx = obdélník šířky 2 a výšky 2 = 4.
Meze a, bZačátek a konec úseku na ose x, přes který plochu počítáme.

Nejdřív obdélníky

Pod vodorovnou čarou y = 2 od x = 1 do x = 3 je obdélník. Nastav strany 2 a 2 a podívej se na obsah – to je ∫₁³ 2 dx = 4.

Pod šikmou čarou y = x od 0 do 2 je trojúhelník se stranami 2 a 2: obsah 2 · 2 / 2 = 2. Tedy ∫₀² x dx = 2.

Pod křivkou: tenké proužky

Pod parabolou y = x² obdélníky nesedí. Rozdělíš plochu na hodně úzkých proužků, každý je skoro obdélník. Čím užší, tím přesněji. Limita tohoto součtu je integrál.

Zkratka: primitivní funkce

Primitivní funkce FFunkce, jejíž derivace je f: F′ = f. Integrování je derivování „pozpátku“.K f(x) = x² je primitivní F(x) = x³/3, protože (x³/3)′ = x².

Velká věta analýzy (Newtonova–Leibnizova formule) říká: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Nemusíš sčítat proužky – stačí najít primitivní funkci a dosadit meze.

Obsah plochy pod y = x² na ⟨0; 3⟩?
F(x) = x³/3. F(3) − F(0) = 27/3 − 0 = 9.
∫₀^π sin x dx = ?
Primitivní k sin x je −cos x (protože (−cos x)′ = sin x). [−cos x]₀^π = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.

Primitivních funkcí je víc – liší se o konstantu, protože derivace konstanty je 0. Proto píšeme „+ C“ (C je libovolné číslo). Ze základních: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1/x dx = ln|x| + C (e ≈ 2,718, ln je logaritmus se základem e).

✗∫ x² dx = 2x + C
✓∫ x² dx = x³/3 + C

2x je derivace x². Integrál jde opačným směrem: hledáš funkci, jejíž derivace je x². Exponent se zvětší o 1 a vydělíš novým exponentem.

Pozor: části grafu pod osou x se v integrálu počítají záporně. Plocha mezi dvěma křivkami je integrál z rozdílu „horní − dolní“: mezi y = x a y = x² na ⟨0; 1⟩ je to 1/2 − 1/3 = 1/6.

Určitý integrál = obsah plochy pod grafem. Spočítáš ho primitivní funkcí: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a), kde F′ = f.

Derivace pozpátku

O čem to je

Znáš rychlost auta v každém okamžiku a chceš zjistit, kde je. Z dráhy jsi dosud derivací počítal rychlost. Teď potřebuješ opak: z rychlosti zpátky dráhu. To je integrování.

Naučíš se primitivní funkce – „antiderivace“ – a jak s nimi spočítat obsah plochy.

Nové pojmy

Derivacef′ udává okamžitou rychlost změny funkce f (sklon grafu).(x²)′ = 2x.
Primitivní funkceF je primitivní k f, když F′ = f. Je jich nekonečně mnoho – liší se o konstantu, protože derivace konstanty je 0.x², x² + 5, x² − 1 mají všechny derivaci 2x.
Neurčitý integrál ∫ f(x) dxZápis všech primitivních funkcí: F(x) + C, kde C je libovolná konstanta.∫ 2x dx = x² + C.
Určitý integrál ∫ₐᵇ f(x) dxČíslo F(b) − F(a). Pro f ≥ 0 je to obsah plochy pod grafem mezi x = a a x = b.

Tabulka – stačí číst derivace pozpátku

Než otočíš kartičku, zkus si říct: čí derivace je tohle?

  • ∫ xⁿ dx (n ≠ −1) – xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
  • ∫ x² dx – x³/3 + C
  • ∫ 1/x dx – ln|x| + C
  • ∫ cos x dx – sin x + C
  • ∫ sin x dx – −cos x + C
  • ∫ eˣ dx – eˣ + C

Výpočet určitého integrálu

Najdi primitivní funkci F (konstantu C vynech).
Dosaď horní mez: F(b).
Dosaď dolní mez: F(a).
Odečti: F(b) − F(a).
∫₀² (2x + 1) dx = ?
F(x) = x² + x. F(2) − F(0) = (4 + 2) − 0 = 6.
∫₀¹ 3x² dx = ?
F(x) = x³. F(1) − F(0) = 1.
Obsah plochy mezi y = x a y = x² na ⟨0; 1⟩?
Na ⟨0; 1⟩ je x nad x². Integruj rozdíl: ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Kontrola selským rozumem: ∫₁³ 2 dx je obdélník 2 × 2. Nastav ho a ověř, že obsah je 4. Primitivní funkce 2x dává 6 − 2 = 4 ✓.

✗∫ sin x dx = cos x + C
✓∫ sin x dx = −cos x + C

Ověř derivací: (cos x)′ = −sin x, ale (−cos x)′ = sin x. Zkouška derivováním odhalí každou chybu ve znaménku.

Integrál je opak derivace: F′ = f. ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Určitý integrál = F(b) − F(a) = obsah plochy pod grafem (části pod osou x záporně).
⛰️Průběh funkce a extrémy🎓Opakování k maturitě