🎲 Pravděpodobnost

Kostky a mince

O čem to je

Zítra prší s pravděpodobností 70 %. Lék pomůže 9 lidem z 10. Šance na výhru ve Sportce je mizivá. Pravděpodobnost je číslo, které říká, jak moc můžeme čekat, že se něco stane.

Používají ji meteorologové, pojišťovny, lékaři i hráči. A pomáhá nenechat se napálit – třeba u loterií.

Nové pojmy

Pokus a výsledekPokus je děj s nejistým výsledkem (hod kostkou). Výsledek je to, co může padnout (1, 2, …, 6).
JevSkupina výsledků, která nás zajímá.Jev „padne sudé číslo“ = výsledky 2, 4, 6.
Pravděpodobnost P(A)Číslo od 0 do 1. 0 = jev nemožný, 1 = jev jistý. Když jsou všechny výsledky stejně možné: P(A) = počet příznivých výsledků / počet všech výsledků.P(šestka) = 1/6, P(sudé) = 3/6 = 1/2.

Pravděpodobnost nemůže být 1,2 ani −0,3 – příznivých výsledků nemůže být víc než všech ani méně než nula.

Dvě kostky: tabulka 6 × 6

Hodíš dvěma kostkami. Každý řádek je výsledek první kostky, sloupec druhé – celkem 6 · 6 = 36 stejně možných dvojic. Spočítej tečky.

Dvě kostky. Jaká je pravděpodobnost, že součet je 7?
Příznivé dvojice: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 – to je 6. P = 6/36 = 1/6.
Dvě mince. P(dvakrát líc)?
Výsledky: LL, LR, RL, RR – 4 stejně možné. Příznivý jen LL. P = 1/4.

Opačný jev

Opačný jev A′Nastane přesně tehdy, když A nenastane. Platí P(A) + P(A′) = 1.A = padne šestka (1/6), A′ = nepadne šestka (5/6).
Dva hody kostkou. P(aspoň jedna šestka)?
Snazší je opak „žádná šestka“: 5 · 5 = 25 dvojic z 36. P(aspoň jedna) = 1 − 25/36 = 11/36.
✗P(aspoň jedna šestka ve dvou hodech) = 1/6 + 1/6 = 2/6
✓11/36

Dvojici 6–6 bys započítal dvakrát. Cesta přes opačný jev je bezpečnější.

Nezávislé pokusy a tahání z osudí

Nezávislé jevyVýsledek jednoho neovlivní druhý. Pravděpodobnost, že nastanou oba, je součin: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).10 % výrobků je vadných, beru 2 nezávisle: P(oba dobré) = 0,9 · 0,9 = 0,81.
V osudí 3 bílé a 2 černé koule. Táhneme 2 bez vracení. P(obě bílé)?
První bílá: 3/5. Pak zbývají 2 bílé ze 4: 2/4. P = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
P(A) = příznivé / všechny (výsledky stejně možné), vždy mezi 0 a 1. „Aspoň jeden“ počítej přes opačný jev: 1 − P(ani jeden). Nezávislé jevy: pravděpodobnosti se násobí.

Pravidla

O čem to je

Kontrola kvality: kolik výrobků z tisíce bude vadných? Lékařský test: jak spolehlivý je? Pro takové úlohy nestačí počítat na prstech, potřebuješ pravidla, jak pravděpodobnosti skládat.

Tady jsou čtyři pravidla, která pokryjí většinu úloh na střední škole.

Nové pojmy

Náhodný pokus a jevPokus má víc možných výsledků a nevíme předem, který nastane. Jev je skupina výsledků.Pokus: tah koule. Jev: „vytáhnu bílou“.
Klasická pravděpodobnostKdyž je výsledků konečně mnoho a jsou stejně pravděpodobné: P(A) = |A| / |Ω|, kde |A| je počet příznivých a |Ω| počet všech výsledků.Osudí 3 bílé + 2 černé: P(bílá) = 3/5.
Jev jistý a nemožnýJistý nastane vždy (P = 1), nemožný nikdy (P = 0).Na kostce padne číslo menší než 7: jistý jev.

Pravidla

SituacePravidlo
opačný jevP(A′) = 1 − P(A)
A nebo B, nemohou nastat zároveňP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
A nebo B obecněP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A i B, nezávisléP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
postupné tahy bez vracenínásob pravděpodobnosti, ale po každém tahu uprav počty

Postup řešení

Popiš, co je jeden výsledek a kolik je všech (případně kombinatorikou).
Obsahuje zadání „aspoň jeden“? Počítej opačný jev.
Je to „a zároveň“ u nezávislých pokusů? Násob.
Je to „nebo“ u neslučitelných jevů? Sčítej.
Zkontroluj, že výsledek leží mezi 0 a 1.
P(na kostce padne sudé číslo)? A číslo větší než 4?
Sudá: 2, 4, 6 → 3/6 = 1/2. Větší než 4: 5, 6 → 2/6 = 1/3.
Dva hody kostkou. P(aspoň jedna šestka)?
Opačný jev: v žádném hodu šestka nepadne. Hody jsou nezávislé: 5/6 · 5/6 = 25/36. P = 1 − 25/36 = 11/36.
3 bílé a 2 černé koule, tahám 2 bez vracení. P(obě bílé)?
Kombinatoricky: dvojic bílých C(3, 2) = 3, všech dvojic C(5, 2) = 10. P = 3/10. (Stejně vyjde 3/5 · 2/4.)

Pravděpodobnost a četnost

Pravděpodobnost 1/6 neznamená, že v šesti hodech padne šestka přesně jednou. Znamená, že při mnoha hodech padá zhruba v 1/6 případů. Takto by mohl vypadat výsledek 600 hodů:

✗Pětkrát po sobě padl rub, takže teď spíš padne líc.
✓P(líc) je pořád 1/2.

Mince nemá paměť – hody jsou nezávislé. Tato chyba se jmenuje „hráčský omyl“.

P(A) = |A|/|Ω|, 0 ≤ P ≤ 1. Opačný jev: 1 − P(A). Neslučitelné „nebo“ → sčítej, nezávislé „a zároveň“ → násob. „Aspoň jeden“ = 1 − P(ani jeden).
📊Statistika