➡️ Vektory

Šipky a cesty

O čem to je

Mapa pokladu: „Od dubu 3 kroky na východ a 4 na sever.“ Nezáleží, kde přesně dub stojí – pokyn říká směr a vzdálenost. Takový pokyn je vektor.

Vektory popisují posunutí, rychlost větru, sílu, kterou táhneš kufr. Používá je fyzika, navigace, počítačové hry (pohyb postavy) i robotika.

Nové pojmy

VektorŠipka, která má směr a délku. Nezáleží, kde začíná – stejné šipky posunuté jinam jsou stejný vektor. Zapisujeme souřadnicemi: u = (3; 4) = 3 doprava, 4 nahoru.Pokyn k pokladu je vektor (3; 4).
Vektor ABŠipka z bodu A do bodu B. Souřadnice: koncový bod minus počáteční, AB = B − A.A[1; 2], B[4; 6]: AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
Velikost |u|Délka šipky. Podle Pythagorovy věty |u| = √(u₁² + u₂²).|(3; 4)| = √(9 + 16) = 5.

Vektor (3; 4) je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 3 a 4. Zkontroluj si délku na obrázku. Pak zkus (6; 8) – délka vyjde 10.

Skládání cest

Sčítání: nejdřív jdi podle u, pak podle v. Výsledek je jedna šipka od začátku do konce: (1; 2) + (3; −1) = (4; 1). Sčítáš zvlášť x a zvlášť y.

Násobení číslem: 2 · (1; 2) = (2; 4) – stejný směr, dvojnásobná délka. Vektory, z nichž jeden je násobkem druhého, leží na rovnoběžkách – jsou kolineární.

A[2; 4], B[6; 8]. Kde je střed úsečky AB?
Střed je „průměr“ bodů: [(2 + 6)/2; (4 + 8)/2] = [4; 6].

Skalární součin: jak moc míří stejně

Skalární součin u · vČíslo u₁v₁ + u₂v₂. Je velký, když šipky míří podobně, nula, když jsou kolmé, a záporný, když míří proti sobě.(1; 2) · (3; −1) = 3 − 2 = 1.
Který vektor je kolmý k (2; −1): (1; 2), nebo (2; 1)?
(2; −1) · (1; 2) = 2 − 2 = 0 → kolmý. (2; −1) · (2; 1) = 4 − 1 = 3 ≠ 0 → kolmý není.

Ze skalárního součinu spočítáš i úhel: cos φ = (u · v) / (|u| · |v|).

Úhel vektorů u = (1; 0) a v = (1; 1)?
u · v = 1. |u| = 1, |v| = √2. cos φ = 1/√2 = √2/2 → φ = 45°.
✗AB = A − B
✓AB = B − A

Vektor říká, jak se dostat z A do B: kolik přidat k A, abys byl v B. To je „cíl minus start“.

V prostoru má vektor tři souřadnice a velikost √(u₁² + u₂² + u₃²). Například |(1; 2; 2)| = √9 = 3.

Vektor = směr + délka. AB = B − A, |u| = √(u₁² + u₂²). Skalární součin u₁v₁ + u₂v₂ je 0 právě pro kolmé vektory.

Souřadnicemi

O čem to je

Počítač nevidí obrázky – vidí čísla. Aby hra spočítala, jestli střela trefí cíl, nebo GPS, kterým směrem jedeš, převádí se geometrie na výpočty se souřadnicemi. Vektory jsou k tomu základní nástroj.

Tady je přehled všech operací s vektory jako recepty.

Nové pojmy

Souřadnice boduA[a₁; a₂] – poloha bodu v rovině (vodorovně; svisle). V prostoru přibude třetí souřadnice.
VektorPosunutí o určitý kus daným směrem, zapsané u = (u₁; u₂). Kulaté závorky = vektor, hranaté = bod.
Kolineární vektoryJeden je násobkem druhého (leží na rovnoběžných přímkách).(2; 4) = 2 · (1; 2) → kolineární.

Recepty

CoVzorecPříklad
vektor ABB − A = (b₁ − a₁; b₂ − a₂)A[1; 2], B[4; 6] → (3; 4)
velikost|u| = √(u₁² + u₂²)|(6; 8)| = 10
střed úsečky AB[(a₁ + b₁)/2; (a₂ + b₂)/2]A[2; 4], B[6; 8] → [4; 6]
součet(u₁ + v₁; u₂ + v₂)(1; 2) + (3; −1) = (4; 1)
násobekk · u = (ku₁; ku₂)2 · (1; 2) = (2; 4)
skalární součinu₁v₁ + u₂v₂(1; 2) · (3; −1) = 1
úhelcos φ = u · v / (|u| · |v|)(1; 0), (1; 1) → 45°

Vzdálenost dvou bodů

Spočítej vektor AB = B − A.
Spočítej jeho velikost |AB| = √(rozdíl x² + rozdíl y²).
To je délka úsečky AB.
A[1; 2], B[4; 6]. Jak je dlouhá úsečka AB?
AB = (3; 4). |AB| = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ten výpočet je čistá Pythagorova věta: rozdíl x a rozdíl y jsou odvěsny. Nastav 6 a 8 – vyjde |(6; 8)| = 10.

Kolmost a úhel

Skalární součinČíslo u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u| · |v| · cos φ, kde φ je úhel vektorů. Pro kolmé vektory je cos 90° = 0, proto u · v = 0.
Kolmost: spočítej u · v. Vyšla 0 → kolmé.
Úhel: spočítej u · v, |u|, |v| a dosaď do cos φ = u · v / (|u| · |v|).
Z hodnoty cos φ urči úhel (tabulka nebo kalkulačka).
u = (1; 2), v = (3; −1). Spočítej u · v. Jsou kolmé?
1 · 3 + 2 · (−1) = 3 − 2 = 1. Není to 0, takže kolmé nejsou.
Najdi vektor kolmý k (2; −1).
Trik: prohoď souřadnice a u jedné změň znaménko → (1; 2). Kontrola: 2 · 1 + (−1) · 2 = 0 ✓.
✗Skalární součin (1; 2) · (3; −1) = (3; −2)
✓(1; 2) · (3; −1) = 3 + (−2) = 1

Výsledkem skalárního součinu je číslo (skalár), ne vektor. Součiny souřadnic se ještě sečtou.

V prostoru stejně, jen se třemi souřadnicemi: |(1; 2; 2)| = √(1 + 4 + 4) = 3.

AB = B − A, |u| = √(u₁² + u₂²), střed = průměr souřadnic. u · v = u₁v₁ + u₂v₂ je číslo; u · v = 0 ⇔ vektory jsou kolmé.
🏺Tělesa – objem a povrch📍Přímka v rovině