📍 Přímka v rovině

Pohybem po přímce

O čem to je

Loď vypluje z přístavu a pluje pořád stejným směrem. Kde bude za hodinu? Za dvě? Její dráha je přímka. Když znáš start a směr, umíš spočítat každý bod cesty.

Analytická geometrie popisuje přímky rovnicemi. Díky tomu počítač zjistí, jestli se dvě trasy zkříží, jak daleko je bod od silnice nebo kde se protnou dvě úsečky na obrazovce.

Nové pojmy

VektorŠipka se směrem a délkou zapsaná souřadnicemi, např. (2; 4) = 2 doprava, 4 nahoru. Vektor z A do B je B − A.
Směrový vektor sVektor, který ukazuje směr přímky.A[1; 1], B[3; 5]: s = B − A = (2; 4).
Parametr tČíslo, které říká, kolik kroků po směrovém vektoru jsi ušel. t = 0 je start, t = 1 jeden krok, t = −1 krok zpět.

Parametrická rovnice: start + kroky

Bod přímky = start A + t · s. Po souřadnicích: x = a₁ + t·s₁, y = a₂ + t·s₂.

Přímka x = 1 + t, y = 2 − t. Který bod dostaneš pro t = 3?
x = 1 + 3 = 4, y = 2 − 3 = −1. Bod [4; −1].

Obecná rovnice: kolmá šipka

Normálový vektor nVektor kolmý k přímce. Ze směrového s = (s₁; s₂) ho dostaneš prohozením souřadnic a změnou jednoho znaménka: n = (−s₂; s₁).s = (1; 2) → n = (−2; 1) nebo (2; −1).
Obecná rovniceax + by + c = 0, kde (a; b) je normálový vektor. Číslo c dopočítáš dosazením bodu přímky.x − 3y + 2 = 0 má n = (1; −3).
Napiš přímku s n = (2; −1), která prochází bodem [0; −1].
Rovnice 2x − y + c = 0. Dosadím bod: 2 · 0 − (−1) + c = 0 → c = −1. Výsledek 2x − y − 1 = 0.

Směrnicová rovnice: jak to znáš z funkcí

y = kx + q: k je sklon, q místo, kde přímka protne osu y. Z obecné rovnice ji dostaneš vyjádřením y: 2x − y + 3 = 0 → y = 2x + 3, tedy k = 2.

Vyzkoušej: nastav k = 2 a q = 0 (přímka y = 2x). Pak k = −0,5 (přímka y = −x/2). Uvidíš, že na sebe jsou kolmé.

Pravidlo: přímky jsou kolmé, když součin směrnic je −1. Tady 2 · (−1/2) = −1 ✓. Rovnoběžné jsou, když mají stejné k.

Průsečík a vzdálenost

Kde se protnou x + y = 5 a x − y = 1?
Průsečík splňuje obě rovnice. Sečtu je: 2x = 6 → x = 3, pak y = 2. Bod [3; 2].

Vzdálenost bodu [x₀; y₀] od přímky ax + by + c = 0 je |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Svislé čáry znamenají absolutní hodnotu (číslo bez znaménka).

Vzdálenost počátku [0; 0] od 3x + 4y − 10 = 0?
|0 + 0 − 10| / √(9 + 16) = 10/5 = 2.
✗Přímka x − 3y + 2 = 0 má normálový vektor (1; 3).
✓n = (1; −3)

Koeficienty u x a y se berou i se znaménkem. −3y znamená b = −3.

Parametrická rovnice = bod + t · směrový vektor. Obecná ax + by + c = 0, kde (a; b) je normálový vektor (kolmý). Směrnicová y = kx + q. Kolmé přímky: k₁ · k₂ = −1.

Tři tvary rovnice

O čem to je

Stejnou přímku můžeš zapsat třemi způsoby – jako adresu domu jde popsat ulicí, souřadnicemi GPS nebo „třetí dům za kostelem“. Každý zápis se hodí na něco jiného.

Naučíš se mezi nimi přecházet a podle úlohy vybrat ten nejvhodnější: pro body na přímce, pro vzájemnou polohu, pro vzdálenost.

Nové pojmy

Směrový vektor sVektor rovnoběžný s přímkou. Spočítáš ho ze dvou bodů: s = B − A.
Normálový vektor nVektor kolmý k přímce. V rovině z s = (s₁; s₂) dostaneš n = (−s₂; s₁).s = (2; 4) → n = (−4; 2), lépe zkráceně (−2; 1).
Kolineární vektoryJeden je násobkem druhého – mají stejný nebo opačný směr.(2; −1) a (4; −2).

Tři tvary

TvarZápisCo z něj vidíšHodí se na
parametrickýx = a₁ + t·s₁, y = a₂ + t·s₂bod A a směr svýpočet bodů, úsečky, polopřímky
obecnýax + by + c = 0normálový vektor (a; b)vzájemná poloha, vzdálenost
směrnicovýy = kx + qsklon k, úsek qgraf, kolmost (k₁ · k₂ = −1)

Postup: rovnice přímky AB

s = B − A.
Parametricky: x = a₁ + t·s₁, y = a₂ + t·s₂.
Obecně: n = (−s₂; s₁), rovnice n₁x + n₂y + c = 0.
c dopočítej dosazením bodu A.
Směrnicově: z obecné rovnice vyjádři y.
Napiš přímku AB pro A[1; 1], B[3; 5] ve všech tvarech.
s = (2; 4). Parametricky: x = 1 + 2t, y = 1 + 4t. Normála n = (−4; 2) ~ (2; −1): 2x − y + c = 0, dosadím A: 2 − 1 + c = 0 → c = −1. Obecně 2x − y − 1 = 0. Směrnicově y = 2x − 1.

Zkontroluj směrnicový tvar v grafu: nastav k = 2 a q = −1. Přímka musí procházet bodem A[1; 1] a průsečíkem s osou y [0; −1].

Vzájemná poloha dvou přímek

Porovnej normálové vektory.
Nejsou kolineární → přímky jsou různoběžné (jeden průsečík – vyřeš soustavu).
Jsou kolineární → zkus, zda je jedna rovnice násobkem druhé. Ano → totožné. Ne → rovnoběžné různé.
Jak leží 2x − y + 1 = 0 a 4x − 2y + 5 = 0?
n₁ = (2; −1), n₂ = (4; −2) = 2 · n₁ → kolineární. Vynásobím první rovnici 2: 4x − 2y + 2 = 0 ≠ druhá rovnice. Přímky jsou rovnoběžné různé.

Vzdálenost bodu od přímky

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Do obecné rovnice dosadíš bod a vydělíš velikostí normálového vektoru.

Kde protne 3x + 4y − 12 = 0 osu x? A jak daleko je od ní počátek?
Na ose x je y = 0: 3x = 12 → x = 4. Vzdálenost počátku: |−12| / 5 = 2,4.
✗Přímky s kolineárními normálovými vektory jsou vždy rovnoběžné různé.
✓Mohou být i totožné.

Stejný směr mají i totožné přímky. Rozhodne, jestli mají společný bod (jestli je jedna rovnice násobkem druhé).

Parametrický tvar: bod + t·s. Obecný: ax + by + c = 0 s normálou (a; b). Směrnicový: y = kx + q. Polohu určíš porovnáním normálových vektorů, vzdálenost vzorcem |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
➡️Vektory🥚Kuželosečky