Posviť baterkou kolmo na zeď – světlo tvoří kruh. Nakloň ji – kruh se protáhne do elipsy. Nakloň ještě víc – okraj světla se otevře do paraboly nebo hyperboly. Všechny tyto křivky jsou řezy kužele (kužel světla řízneš rovinou zdi). Proto kuželosečky.
Planety obíhají po elipsách, satelitní talíř má tvar paraboly (soustředí signál do jednoho bodu), hozený míč letí po parabole.
Proč x² + y² = r²? Bod [x; y], počátek a pata kolmice tvoří pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami x, y a přeponou r. Nastav 3 a 4: přepona je 5. Bod [3; 4] tedy leží na kružnici x² + y² = 25.
Posunutý střed S[m; n]: (x − m)² + (y − n)² = r². Pozor na znaménka: (y + 3)² znamená n = −3.
Parabolu znáš i z grafů. Hýbej koeficientem a – parabola se zužuje a rozšiřuje, ale pořád je to parabola.
Rovnice obsahuje x − m a y − n. Pro x − 2 je m = 2; y + 3 = y − (−3), takže n = −3. Znaménka v závorce se otáčejí.
Počítač kreslí kružnice a elipsy podle rovnic. Navigace podle rovnic počítá, jestli trasa protne zakázanou zónu. Z rovnice umíš vyčíst střed, velikost i tvar křivky.
Klíčová dovednost: poznat podle rovnice, o jakou křivku jde, a převést ji do tvaru, ze kterého všechno přečteš.
| Rovnice | Křivka | Co přečteš |
|---|---|---|
| (x − m)² + (y − n)² = r² | kružnice | střed [m; n], poloměr r |
| x²/a² + y²/b² = 1 | elipsa | poloosy a, b; e = √(a² − b²) |
| x²/a² − y²/b² = 1 | hyperbola | poloosy a, b; e = √(a² + b²) |
| y² = 2px nebo y = ax² | parabola | vrchol v počátku |
Definice: součet vzdáleností od ohnisek je stálý a rovná se 2a. Ohniska leží na hlavní ose ve vzdálenosti e od středu a platí a² = b² + e². Ověř: nastav b = 3, e = 4 – přepona vyjde a = 5.
Bod leží na kružnici, když po dosazení platí rovnost: [3; 4] a x² + y² = 25 → 9 + 16 = 25 ✓. Přímka je tečna, když má s kružnicí jediný společný bod: y = 5 a x² + y² = 25 → x² = 0, jen bod [0; 5]. Dva společné body = sečna.
U elipsy je ohnisko uvnitř, takže e < a: e² = a² − b². Plus patří k hyperbole, kde jsou ohniska dál než vrcholy.