🪜 Posloupnosti a aritmetická posloupnost

Schody

O čem to je

Šetříš: první týden dáš do pokladničky 20 Kč, každý další týden o 5 Kč víc. Kolik dáš v desátém týdnu? Kolik budeš mít celkem? Takové pravidelné řady čísel jsou posloupnosti.

Posloupnosti popisují řady sedadel v divadle, splátky, tabulky jízdních řádů. A hlavně je potřeba umět sečíst hodně čísel rychle – i 100 čísel za pár vteřin.

Nové pojmy

PosloupnostČísla seřazená za sebou, každé má své pořadí: první člen a₁, druhý a₂, … n-tý aₙ. Malé číslo dole říká pořadí.5, 9, 13, …: a₁ = 5, a₂ = 9, a₃ = 13.
Aritmetická posloupnostKaždý další člen dostaneš přičtením stejného čísla d. Jako schody stejné výšky.5, 9, 13, 17 – pokaždé +4.
Diference dTo stálé číslo, které se přičítá. d = a₂ − a₁ (rozdíl sousedů).U 5, 9, 13 je d = 9 − 5 = 4.

Skákání po ose

Začni na 2 a skákej po 3. Ťukni několikrát a sleduj: 2, 5, 8, 11, … Na desátý člen bys potřeboval 9 skoků.

Z toho plyne vzorec. Na prvním členu stojíš bez skoku, ke druhému se dostaneš jedním skokem, k n-tému n − 1 skoky: aₙ = a₁ + (n − 1) · d.

a₁ = 2, d = 3. Kolik je a₁₀?
Devět skoků po 3: a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29.
✗a₁₀ = a₁ + 10 · d = 32
✓a₁₀ = a₁ + 9 · d = 29

Z prvního na desátý člen vede jen 9 skoků. První člen už „stojí“ na místě.

Gaussův trik na součet

Malý Gauss měl prý ve škole sečíst 1 + 2 + … + 100. Všiml si, že 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101… Dvojic je 50, každá dá 101. Součet je 50 · 101 = 5050.

Obecně: součet prvních n členů je počet dvojic krát součet krajních: sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ).

Hlediště: 1. řada má 20 míst, každá další o 2 víc. Kolik míst je v 10 řadách?
a₁₀ = 20 + 9 · 2 = 38. Součet s₁₀ = 10/2 · (20 + 38) = 5 · 58 = 290 míst.

Ne každá posloupnost je aritmetická. 2, 4, 8, 16 roste násobením, 1, 4, 9, 16 jsou druhé mocniny. Posloupnost 1, 1/2, 1/3, … není rostoucí – každý člen je menší.

Aritmetická posloupnost: pořád přičítám d. aₙ = a₁ + (n − 1)d. Součet n členů sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ).

Vzorci a předpisy

O čem to je

Posloupnost jde zadat různě: výčtem prvních členů, vzorcem pro n-tý člen nebo pravidlem „jak z předchozího udělat další“. Programátor pozná ten poslední způsob jako cyklus.

Naučíš se s každým zadáním pracovat, poznat aritmetickou posloupnost a spočítat cokoli: člen, diferenci, pořadí i součet.

Nové pojmy

PosloupnostFunkce, která každému přirozenému číslu n (pořadí) přiřadí číslo aₙ (člen).aₙ = 2n + 1: a₁ = 3, a₂ = 5, a₃ = 7.
Vzorec pro n-tý členPředpis, do kterého dosadíš pořadí n a hned máš člen.aₙ = 2n + 1 → a₁₀ = 21.
Rekurentní zadáníZnáš první člen a pravidlo, jak z člena aₙ spočítat další aₙ₊₁.a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n.
Rostoucí / klesajícíRostoucí: každý další člen je větší (aₙ₊₁ > aₙ). Klesající: menší.aₙ = 1/n: 1, 1/2, 1/3… je klesající.

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost a diferenceRozdíl dvou sousedních členů je stále stejné číslo d: aₙ₊₁ − aₙ = d.aₙ = 2n + 1: aₙ₊₁ − aₙ = (2n + 3) − (2n + 1) = 2 → aritmetická, d = 2.
VzorecK čemu
aₙ = a₁ + (n − 1)dn-tý člen
aᵣ − aₛ = (r − s)ddiference ze dvou členů
sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)součet prvních n členů

Podívej se na sloupce posloupnosti 4, 7, 10, … Každý je o stejný kus delší – proto graf aritmetické posloupnosti leží na přímce.

Řešené úlohy

a₁ = 3, a₅ = 19. Urči d.
Mezi a₁ a a₅ jsou 4 kroky: 19 − 3 = 4d → d = 4.
Posloupnost 4, 7, 10, … Kolikátý člen je 31?
a₁ = 4, d = 3. 4 + 3(n − 1) = 31 → 3(n − 1) = 27 → n − 1 = 9 → n = 10.
a₁ = 2, d = 3. Součet prvních 10 členů?
a₁₀ = 2 + 27 = 29. s₁₀ = 10/2 · (2 + 29) = 5 · 31 = 155.
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n. Urči a₄.
a₂ = a₁ + 2 · 1 = 3, a₃ = a₂ + 2 · 2 = 7, a₄ = a₃ + 2 · 3 = 13. (Přičítá se pokaždé jiné číslo, takže není aritmetická.)

Odkud je vzorec pro součet

Napiš sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ.
Pod to napiš totéž pozpátku: sₙ = aₙ + … + a₂ + a₁.
Sečti sloupce: každý dá a₁ + aₙ, sloupců je n.
Tedy 2sₙ = n(a₁ + aₙ), sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ).
✗sₙ = n · (a₁ + aₙ)
✓sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)

Sečtením posloupnosti s ní samou pozpátku dostaneš dvojnásobek součtu. Proto se dělí 2. Kontrola: 1 + 2 + 3 = 6 = 3/2 · 4.

Aritmetická: aₙ₊₁ − aₙ = d. aₙ = a₁ + (n − 1)d, sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ). Rekurentní zadání počítej krok po kroku.
🥚Kuželosečky🌀Geometrická posloupnost a řady