🌀 Geometrická posloupnost a řady

Násobení a půlení

O čem to je

Pošleš řetězovou zprávu 3 kamarádům, každý ji pošle dalším 3. V prvním kole 3 lidi, ve druhém 9, ve třetím 27… Čísla se pokaždé násobí stejným číslem. Rostou mnohem rychleji než u přičítání.

Takhle se chovají úroky v bance, množení bakterií, rozpad radioaktivních látek nebo odrážející se míček, který vyskočí pokaždé do poloviční výšky.

Nové pojmy

PosloupnostČísla seřazená za sebou: první člen a₁, druhý a₂, … n-tý aₙ.
Geometrická posloupnostKaždý další člen dostaneš vynásobením stejným číslem q.3, 6, 12, 24 – pokaždé ·2.
Kvocient qTo stálé číslo, kterým se násobí. q = a₂ : a₁ (podíl sousedů).3, 6, 12 → q = 6 : 3 = 2. U 2, −4, 8, −16 je q = −2 (znaménko se střídá).

n-tý člen

Z prvního členu na n-tý vede n − 1 násobení: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

a₁ = 2, q = 3. Kolik je a₅?
Čtyři násobení trojkou: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162.
Vklad 20 000 Kč, úrok 5 % ročně, úroky se připisují. Kolik je po 2 letech?
Každý rok · 1,05. 20 000 · 1,05² = 20 000 · 1,1025 = 22 050 Kč.

Nekonečný součet, který je konečný

Sníš půlku čokolády, pak půlku zbytku, pak půlku zbytku… 1/2 + 1/4 + 1/8 + … Členů je nekonečně mnoho, ale nikdy nesníš víc než celou čokoládu.

Podívej se, jak rostou průběžné součty 1 + 1/2 + 1/4 + … Přibližují se ke 2, ale nikdy ji nepřekročí.

Nekonečná geometrická řadaSoučet všech členů geometrické posloupnosti. Má konečný součet (konverguje), jen když se členy zmenšují k nule, tedy když |q| < 1 (q je mezi −1 a 1). Pak s = a₁ / (1 − q).1 + 1/2 + 1/4 + … = 1 / (1 − 1/2) = 2.
Kolik je 0,(9) = 0,999…?
0,9 + 0,09 + 0,009 + … je řada s a₁ = 0,9 a q = 0,1. s = 0,9 / (1 − 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1. Ano, 0,999… = 1.
✗1 + 2 + 4 + 8 + … má součet, protože každá řada se jednou „ustálí“.
✓Tato řada nemá konečný součet (diverguje).

q = 2, členy rostou. Konečný součet existuje jen pro |q| < 1.

Geometrická posloupnost: pořád násobím q. aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. Nekonečná řada má součet a₁/(1 − q), jen když |q| < 1.

Vzorci

O čem to je

Banka, pojišťovna i lékař (dávkování léku, který se z těla odbourává) počítají s geometrickými posloupnostmi. Potřebují rychle znát člen, součet a dlouhodobé chování.

Tady jsou tři vzorce a postup, jak z libovolných dvou údajů dopočítat zbytek.

Nové pojmy

Geometrická posloupnostPosloupnost, kde je podíl dvou sousedních členů stálý: aₙ₊₁ / aₙ = q (kvocient).6, 2, 2/3, … má q = 1/3.
Částečný součet sₙSoučet prvních n členů.Pro 1, 2, 4, 8, 16: s₅ = 31.
KonvergenceNekonečná řada konverguje, když se její částečné součty blíží k jednomu číslu – to je její součet. Jinak diverguje.

Vzorce

CoVzorecPodmínka
n-tý členaₙ = a₁ · qⁿ⁻¹—
vztah dvou členůaᵣ = aₛ · qʳ⁻ˢ—
součet n členůsₙ = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1)q ≠ 1
součet nekonečné řadys = a₁ / (1 − q)|q| < 1

Řešené úlohy

a₁ = 1, q = 2. Součet prvních 5 členů?
s₅ = 1 · (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 31. Kontrola: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ✓.
a₂ = 6, a₄ = 54, q > 0. Urči q.
Z a₂ do a₄ jsou dvě násobení: 54 = 6 · q² → q² = 9 → q = 3 (kladné).
Sečti 6 + 2 + 2/3 + …
a₁ = 6, q = 2/6 = 1/3, |q| < 1 → řada konverguje. s = 6 / (1 − 1/3) = 6 / (2/3) = 9.

Vidíš, jak se 20 000 Kč při úroku 5 % zvětšuje? Každý rok přibude o něco víc než minule – úrok se počítá i z úroků.

Kdy řada konverguje

Urči q.
Je |q| < 1 (a a₁ ≠ 0)? Řada konverguje, součet a₁/(1 − q).
Je |q| ≥ 1? Členy se nezmenšují k nule – řada nemá konečný součet.
Převeď 0,(9) na zlomek pomocí řady.
0,9 + 0,09 + … : a₁ = 0,9, q = 0,1. s = 0,9/0,9 = 1.
✗aₙ = a₁ + (n − 1) · q
✓aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

To první je vzorec aritmetické posloupnosti (přičítání). U geometrické se násobí, takže q je v exponentu.

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Nekonečná řada konverguje právě pro |q| < 1 a má součet a₁/(1 − q).
🪜Posloupnosti a aritmetická posloupnost🎲Kombinatorika