🏺 Tělesa – objem a povrch

Kostky a vrstvy

O čem to je

Kolik vody se vejde do bazénu? Kolik barvy potřebuješ na natření sudu? Kolik kartonu spotřebuje krabice? První otázka se ptá na objem, další dvě na povrch.

Vzorce pro tělesa nemusíš drtit nazpaměť – většinu odvodíš z jednoduché myšlenky: objem = plocha dna krát výška.

Nové pojmy

Objem VKolik místa těleso zabírá – kolik kostiček 1 × 1 × 1 cm se do něj vejde. Jednotky cm³, m³, litry (1 l = 1 dm³).Krychle s hranou 3 cm: 3 · 3 · 3 = 27 cm³.
Povrch SSoučet obsahů všech stěn – kolik papíru bys potřeboval na obalení. Jednotky cm², m².
Podstava a výškaPodstava je „dno“ tělesa, výška kolmá vzdálenost dna od vršku (nebo špičky).

Objem = dno × výška

Nastav dno kvádru: 3 řádky × 4 sloupce = 12 kostek. Když na sebe dáš 2 takové vrstvy, máš 24 kostek. Objem kvádru = a · b · c.

Stejně funguje každý hranol (těleso se stejným dnem a vrškem) a válec (dno je kruh, obsah πr²): V = obsah podstavy · výška.

Válec r = 2, v = 5. Objem?
Dno: π · 2² = 4π. Krát výška: 4π · 5 = 20π.

Špičatá tělesa = třetina

Jehlan a kuželJehlan má dno mnohoúhelník a stěny se sbíhají do špičky. Kužel má dno kruh a špičku nahoře (jako kornout). Do hranolu se stejným dnem a výškou se vejdou přesně tři takové jehlany.Proto V = ⅓ · podstava · výška.
Kužel r = 3, v = 4. Objem a délka strany s?
V = ⅓ · π · 9 · 4 = 12π. Strana s (od špičky k okraji dna) je přepona trojúhelníku s odvěsnami r a v: s = √(9 + 16) = 5.

Plášť kužele (boční „kornout“) má obsah πrs. Pro r = 3, s = 5 je to 15π.

Koule

KouleVšechny body nejvýš r od středu. V = 4/3 · πr³, S = 4πr².r = 3: V = 4/3 · 27π = 36π.

Zvětšování

Zdvojnásobíš hranu krychle. Do každého směru se vejdou dvakrát víc kostek: 2 · 2 · 2 = 8× větší objem. Povrch (plocha) roste jen 2 · 2 = 4×.

✗Hranu krychle zdvojnásobím → objem vzroste 2×.
✓Objem vzroste 2³ = 8×.

Objem roste ve třech směrech zároveň (délka, šířka, výška). Zvětšení k-krát → objem k³-krát, povrch k²-krát.

Hranol a válec: V = podstava · výška. Jehlan a kužel: třetina. Koule: V = 4/3 πr³, S = 4πr². Při zvětšení k-krát roste povrch k²-krát, objem k³-krát.

Přehled vzorců

O čem to je

Výrobce plechovek chce co nejméně plechu na daný objem, stavbyvedoucí objednává beton, zahradník počítá vodu do sudu. Všichni potřebují vzorce pro objem a povrch – a hlavně vědět, který použít.

Tady je přehled všech základních těles a postup, jak úlohu vyřešit bez chyby.

Nové pojmy

Objem a povrchObjem V = kolik prostoru těleso zabírá (cm³). Povrch S = součet obsahů všech ploch na povrchu (cm²).
PlášťBoční plocha tělesa bez podstav (dna a víka).Plášť válce rozvineš do obdélníku 2πr × v.
Strana kužele sVzdálenost od špičky k okraji podstavy. Platí s² = r² + v² (Pythagorova věta).

Tabulka

TělesoObjem VPovrch S
krychle (hrana a)a³6a²
kvádr a × b × cabc2(ab + bc + ac)
válecπr²v2πr² + 2πrv
kužel⅓πr²vπr² + πrs
jehlan⅓ · S_podstavy · vpodstava + boční trojúhelníky
koule4/3 πr³4πr²

Postup

Načrtni těleso a vyznač, co znáš.
Chybí-li rozměr (s, výška, úhlopříčka), najdi pravoúhlý trojúhelník a použij Pythagorovu větu.
Dosaď do vzorce, hlídej jednotky.
U π nech výsledek jako „k · π“, pokud se to tak chce.
Kvádr 2 × 3 × 4 cm. Povrch?
Tři dvojice stěn: 2 · 3 = 6, 3 · 4 = 12, 2 · 4 = 8. S = 2 · (6 + 12 + 8) = 52 cm².
Pravidelný čtyřboký jehlan: hrana podstavy 6, výška 4. Objem?
Podstava čtverec 6 · 6 = 36. V = ⅓ · 36 · 4 = 48.
Koule r = 2. Povrch? Kužel r = 3, s = 5. Plášť?
Koule: 4π · 4 = 16π. Plášť kužele: π · 3 · 5 = 15π.

Archimédův objev

Vezmi válec, kouli a kužel se stejným poloměrem r = 3 a výškou 2r = 6. Jejich objemy jsou v poměru 3 : 2 : 1. Vztah koule a válce objevil Archimédés a byl na něj tak hrdý, že si prý přál mít kouli ve válci na svém hrobě.

✗Objem kužele = πr²v
✓Objem kužele = ⅓πr²v

Kužel se zužuje do špičky, takže zabírá jen třetinu válce se stejnou podstavou a výškou. Totéž platí pro jehlan a hranol.

Zvětšíš-li všechny rozměry k-krát, povrch vzroste k²-krát a objem k³-krát. Dvojnásobná hrana krychle → 8× větší objem.

V = podstava · výška (hranol, válec), třetina u špičatých těles (jehlan, kužel), koule 4/3 πr³. Chybějící rozměr dopočítej Pythagorovou větou.
🧊Polohové a metrické vztahy v prostoru➡️Vektory