🧊 Polohové a metrické vztahy v prostoru

V krabici

O čem to je

Rozhlédni se po pokoji. Hrana stropu a hrana podlahy na stejné stěně jsou rovnoběžné. Svislý roh místnosti a hrana podlahy se protínají. Ale hrana stropu nad oknem a svislý roh v protějším koutě? Ty se nikdy nepotkají – a přitom rovnoběžné nejsou.

V prostoru jsou tedy možnosti, které na papíře neexistují. Stavař, architekt, konstruktér i grafik ve 3D hrách musí přesně vědět, jak spolu přímky a roviny leží a jak daleko od sebe jsou.

Nové pojmy

Krychle ABCDEFGHDolní stěna je ABCD (proti směru hodin), horní EFGH tak, že E je nad A, F nad B, G nad C, H nad D.Hrana AE je svislá, hrana AB vodorovná vpředu dole.
RovinaNeomezená rovná plocha – jako stěna krychle, která pokračuje do nekonečna.Rovina BCG je rovina stěny BCGF.

Jak mohou ležet dvě přímky

RůznoběžnéMají právě jeden společný bod.AB a BF se protnou v B.
RovnoběžnéLeží v jedné rovině a nemají společný bod (nebo splývají – pak jsou totožné).AB a HG (obě vodorovné, na protějších stranách krychle).
MimoběžnéNemají společný bod a neleží v jedné rovině. To jde jen v prostoru.AB a CG: AB vede vpředu dole, CG je svislá hrana vzadu vpravo.

Představ si krychli a roztřiď hrany podle polohy vůči hraně AB.

Spočítej: krychle má 12 hran. Kromě AB samotné jsou 3 rovnoběžné, 4 různoběžné (BC, AD, AE, BF) a 4 mimoběžné.

✗AB a CG jsou rovnoběžné, protože se nikdy nepotkají.
✓Jsou mimoběžné.

Rovnoběžky musí ležet v jedné rovině. Žádná rovina neobsahuje zároveň AB i CG.

Dvě roviny

Dvě různé roviny jsou buď rovnoběžné (podlaha a strop), nebo se protínají v přímce (dvě sousední stěny se potkají v hraně).

Úhly a vzdálenosti

Odchylka přímekÚhel mezi nimi (ten menší, nejvýš 90°). U mimoběžek jednu z nich posuneš rovnoběžně, aby se protnuly.AB a CG: posuň CG na BF. AB ⟂ BF, odchylka 90°.
Jaká je odchylka přímek AB a EG?
EG je úhlopříčka horní stěny, je rovnoběžná s AC. Úhel mezi AB a AC v dolním čtverci je 45°.
Stěnová a tělesová úhlopříčkaStěnová spojuje protější rohy jedné stěny: u = a√2 (Pythagorova věta ve čtverci). Tělesová vede napříč krychlí, např. AG: u = a√3.Hrana 2 → tělesová úhlopříčka 2√3.
Krychle s hranou 4. Jak daleko je bod A od roviny BCG?
Rovina BCG je pravá stěna BCGF. Nejkratší cesta z A na ni je hrana AB, kolmá na tu stěnu. Vzdálenost 4.
Dvě přímky v prostoru: různoběžné, rovnoběžné, nebo mimoběžné (bez společného bodu a ne v jedné rovině). Dvě roviny: rovnoběžné, nebo se protnou v přímce. Úhlopříčky krychle: a√2 a a√3.

Pravidla a postupy

O čem to je

Ve stereometrii (geometrii prostoru) řešíš tři typy úloh: polohové (jak spolu objekty leží, co je řez tělesa), odchylky (úhly) a vzdálenosti. Všechny se nakonec převedou na rovinný trojúhelník.

Tady jsou pravidla, na kterých to stojí, a postupy krok za krokem.

Nové pojmy

Bod, přímka, rovinaZákladní útvary prostoru. Přímka je určena dvěma body, rovina třemi body, které neleží na jedné přímce.Rovina ABC je dolní podstava krychle.
Kolmost přímky a rovinyPřímka je kolmá k rovině, když je kolmá ke dvěma různoběžkám v té rovině. Pak je kolmá ke všem přímkám roviny.Hrana AE je kolmá k AB i k AD, proto je kolmá k celé podstavě ABCD.
Řez tělesaMnohoúhelník, který vznikne, když těleso „rozřízneš“ rovinou.

Vzájemné polohy

ÚtvaryMožné polohy
dvě přímkytotožné, rovnoběžné různé, různoběžné (1 bod), mimoběžné (0 bodů, nejsou v jedné rovině)
přímka a rovinapřímka leží v rovině, je s ní rovnoběžná, nebo ji protíná v 1 bodě
dvě rovinytotožné, rovnoběžné, nebo se protínají v přímce

Postup: odchylka dvou přímek

Jsou-li různoběžné, měř úhel přímo v jejich průsečíku.
Jsou-li mimoběžné, nahraď jednu z nich rovnoběžkou, která tu druhou protne.
Najdi trojúhelník, ve kterém ten úhel leží, a dopočítej ho (Pythagoras, sin, cos).
Odchylka je vždy mezi 0° a 90°.
Krychle: odchylka AE a BC?
Posunu AE na BF (rovnoběžná). BF ⟂ BC (hrana svislá, hrana vodorovná ve stěně). Odchylka 90°.

Postup: vzdálenost

Vzdálenost bodu od roviny = délka kolmice z bodu na rovinu.
Hledej hranu nebo úsečku, která je k rovině kolmá.
Délku dopočítej v pravoúhlém trojúhelníku.
Krychle s hranou a: spočítej tělesovou úhlopříčku AG.
Stěnová úhlopříčka AC = √(a² + a²) = a√2. Trojúhelník ACG je pravoúhlý (CG ⟂ podstava): AG = √(2a² + a²) = a√3.

Ověř si první krok: nastav odvěsny 1 a 1 – přepona (stěnová úhlopříčka krychle s hranou 1) je √2 ≈ 1,41. Pro hranu 3 nastav 3 a 3: vyjde √18 = 3√2.

Řez krychle

Spoj dva body roviny, které leží ve stejné stěně.
Rovnoběžné stěny protne rovina v rovnoběžných úsečkách.
Když body ve stejné stěně nejsou, prodluž hrany a hledej jejich průsečíky s rovinou řezu.
✗Dvě přímky bez společného bodu jsou vždy rovnoběžné.
✓V prostoru mohou být i mimoběžné.

Rovnoběžnost vyžaduje, aby obě přímky ležely v jedné rovině. Bez toho jde o mimoběžky.

Přímky v prostoru: totožné, rovnoběžné, různoběžné, mimoběžné. Odchylku mimoběžek měř po rovnoběžném posunutí. Vzdálenost = délka kolmice. Vše převeď na pravoúhlý trojúhelník.
🏺Tělesa – objem a povrch