🪜 Mocninné funkce

Rodina grafů

O čem to je

Zvětšíš stranu kostky dvakrát. Plocha stěny vzroste 4× (2²), objem kostky 8× (2³). Proto slon nemůže mít tenké nohy jako srnka – váha roste rychleji než síla nohou.

Funkce y = x², y = x³, y = 1/x nebo y = √x tvoří jednu rodinu: mocninné funkce. Když znáš jejich grafy, poznáš i spoustu dalších.

Nové pojmy

Mocninná funkceFunkce y = xⁿ, kde exponent n je pevné číslo. x je základ, který se mění.y = x³: f(2) = 8, f(−2) = −8.
Sudá a lichá funkceSudá: f(−x) = f(x), graf je zrcadlový podle osy y. Lichá: f(−x) = −f(x), graf je souměrný podle počátku [0; 0].

Sudý exponent: x², x⁴, …

Záporné číslo na sudou mocninu je kladné: (−2)² = 4 = 2². Graf vypadá jako U, je souměrný podle osy y – funkce je sudá. Hodnoty nikdy nejsou záporné.

Podívej se na y = x² (parabola). Pak zvětši a na 2 nebo 3 – tak se chová i strmější x⁴: kolem nuly je plochý, dál prudce stoupá.

Lichý exponent: x³, x⁵, …

Znaménko zůstane: (−2)³ = −8. Graf jde zleva zdola doprava nahoru, je souměrný podle počátku – funkce je lichá a na celém ℝ rostoucí.

Mezi nulou a jedničkou je to naopak

Všechny grafy y = xⁿ procházejí bodem [1; 1], protože 1ⁿ = 1. Pro x > 1 je vyšší mocnina větší. Ale pro x mezi 0 a 1 je vyšší mocnina menší. Podívej se na hodnoty pro x = 0,5:

Záporný exponent: hyperboly

Záporný exponentx⁻ⁿ = 1/xⁿ. Graf je hyperbola – dvě větve, x = 0 dosadit nejde.f(x) = x⁻²: f(2) = 1/2² = 1/4.

Odmocnina: parabola na boku

Druhá odmocnina √xNezáporné číslo, které na druhou dá x. Definovaná jen pro x ≥ 0, protože žádné reálné číslo na druhou nedá záporný výsledek.√25 = 5, tedy rovnice √x = 5 má řešení x = 25.

Graf y = √x je polovina paraboly y = x² překlopená podle přímky y = x. √x je totiž inverzní funkce k x² na ⟨0; ∞).

Řeš ∛x = −2.
Třetí odmocnina „vrací“ třetí mocninu. Umocním obě strany na třetí: x = (−2)³ = −8. U třetí odmocniny jsou záporná čísla v pořádku.
✗x³ > x² pro každé kladné x
✓Pro x ∈ (0; 1) je x³ < x².

Násobíš číslem menším než 1, takže výsledek se zmenšuje: 0,5³ = 0,125 < 0,25 = 0,5².

Sudé n: graf tvaru U, funkce sudá, hodnoty ≥ 0. Liché n: funkce lichá, rostoucí. Záporné n: hyperboly. Všechny grafy procházejí [1; 1]. √x je inverzní k x² pro x ≥ 0.

Tabulkou vlastností

O čem to je

Ve fyzice uvidíš E = mv²/2 (kinetická energie roste s druhou mocninou rychlosti), u gravitace F ~ 1/r² (síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti). Zdvojnásobíš rychlost auta – brzdná dráha vzroste čtyřikrát.

Pro všechny mocninné funkce si stačí zapamatovat pár pravidel podle toho, jaký je exponent. Tady jsou v přehledu.

Nové pojmy

Mocninná funkcef(x) = xⁿ s pevným exponentem n. Pro n přirozené jde o násobení, pro záporné o převrácenou hodnotu, pro zlomek o odmocninu.x⁻¹ = 1/x, x^(1/2) = √x.
Definiční obor D(f) a obor hodnot H(f)D(f) = co smím dosadit za x. H(f) = jaká čísla mohou vyjít.
Inverzní funkceFunkce, která vrací vstup z výstupu. Graf vznikne překlopením podle přímky y = x.Inverzní k y = x² na ⟨0; ∞) je y = √x.

Přehled

ExponentPříkladD(f)H(f)VlastnostiGraf
n sudé kladnéx², x⁴ℝ⟨0; ∞)sudáparabola
n liché kladnéx³, x⁵ℝℝlichá, rostoucíkubická parabola
n = −1x⁻¹ = 1/xℝ ∖ {0}ℝ ∖ {0}licháhyperbola
n = −2x⁻² = 1/x²ℝ ∖ {0}(0; ∞)sudáhyperbola (obě větve nahoře)
n = 1/2√x⟨0; ∞)⟨0; ∞)rostoucívětev paraboly

Ověř si první řádek: y = x² má nejnižší hodnotu 0 a je souměrná podle osy y. Nastav a = −1 a uvidíš −x² – obor hodnot se otočí na (−∞; 0⟩.

Jak poznat sudou a lichou

Dosaď −x.
(−x)ⁿ = xⁿ, když je n sudé → funkce sudá.
(−x)ⁿ = −xⁿ, když je n liché → funkce lichá.
Je y = x⁴ sudá? A je y = x³ rostoucí na celém ℝ?
(−x)⁴ = x⁴ → sudá. x³: větší x vždy dá větší x³ (i pro záporná: −3 < −2 a −27 < −8) → rostoucí.
f(x) = x⁻². Kolik je f(2)?
x⁻² = 1/x². f(2) = 1/4 = 0,25.
Řeš √x = 5 a ∛x = −2.
Umocním: x = 5² = 25. Umocním na třetí: x = (−2)³ = −8.

Společný bod: 1ⁿ = 1 pro každé n, proto všechny grafy y = xⁿ procházejí bodem [1; 1].

✗√x jde spočítat i pro x = −4, vyjde −2.
✓√(−4) v reálných číslech neexistuje.

(−2)² = 4, ne −4. Druhá mocnina reálného čísla není nikdy záporná, proto D(√x) = ⟨0; ∞).

Sudý exponent → sudá funkce, H = ⟨0; ∞). Lichý → lichá, rostoucí, H = ℝ. Záporný → hyperbola, x ≠ 0. √x jen pro x ≥ 0. Všechny grafy procházejí [1; 1].
〰️Lomená funkce🦠Exponenciální funkce a rovnice