🦠 Exponenciální funkce a rovnice

Zdvojování

O čem to je

Složíš papír napůl – má 2 vrstvy. Znovu – 4. Potřetí – 8. Po deseti přeloženích by měl 1024 vrstev. Každý krok násobí stejným číslem. Tak rostou bakterie, úspory v bance i šíření zprávy po internetu.

Takový růst popisuje exponenciální funkce. A naopak pokles „pořád na polovinu“ – rozpad radioaktivních látek, chladnutí čaje – také.

Nové pojmy

Exponenciální funkceFunkce y = aˣ, kde základ a je pevné kladné číslo různé od 1 a proměnná x je v exponentu.y = 2ˣ: f(3) = 2³ = 8.
Základ aČíslo, kterým se při každém kroku x o 1 násobí. a > 1 → růst, 0 < a < 1 → pokles.a = 2 je zdvojování, a = 1/2 je půlení.

Proč a ≠ 1? Protože 1ˣ = 1 pro každé x – žádný růst ani pokles, jen konstanta. Taková funkce se exponenciální nenazývá.

Jak roste 2ˣ

Podívej se na sloupce. Každý je dvakrát delší než předchozí. A pod nulou: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4 – pořád kladné, jen se blíží nule.

  • Graf vždy prochází bodem [0; 1], protože a⁰ = 1.
  • Hodnoty jsou vždy kladné: H(f) = (0; ∞). Osu x graf nikdy neprotne.
  • a > 1: rostoucí. 0 < a < 1: klesající – (1/2)ˣ se každým krokem půlí.
100 bakterií se každou hodinu zdvojnásobí. Kolik jich je po 5 hodinách?
100 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 100 · 2⁵ = 100 · 32 = 3200.
Vklad 10 000 Kč, úrok 10 % ročně (úrok se připisuje k vkladu). Kolik je na účtu po 2 letech?
Každý rok se částka násobí 1,1. 10 000 · 1,1 · 1,1 = 10 000 · 1,21 = 12 100 Kč.

Exponenciální rovnice

Exponenciální rovniceRovnice, kde je neznámá v exponentu.2ˣ = 32

Ptáš se: kolikrát musím násobit dvojkou, abych dostal 32? 2, 4, 8, 16, 32 – pětkrát. x = 5.

✗2ˣ = 32 → x = 32 : 2 = 16
✓x = 5, protože 2⁵ = 32

x není činitel, ale exponent. Nehledáš, kolikrát se 2 vejde do 32, ale kolikrát musíš 2 vynásobit samo sebou.

y = aˣ (a > 0, a ≠ 1): každý krok násobí základem. Prochází [0; 1], je vždy kladná. a > 1 roste, 0 < a < 1 klesá.

Stejný základ

O čem to je

Za kolik let se úspory zdvojnásobí? Kdy klesne radioaktivita na bezpečnou úroveň? Na to musíš umět řešit rovnice, kde je neznámá v exponentu.

Mnoho takových rovnic vyřešíš jedním trikem: obě strany přepíšeš jako mocninu stejného čísla.

Nové pojmy

Exponenciální funkcef(x) = aˣ, kde a > 0, a ≠ 1. D(f) = ℝ, H(f) = (0; ∞). Pro a > 1 rostoucí, pro 0 < a < 1 klesající.y = 3ˣ, y = (1/2)ˣ
Prostá funkceRůzné vstupy dávají různé výstupy. Exponenciální funkce je prostá, takže z aʳ = aˢ plyne r = s.2ˣ = 2⁵ ⇒ x = 5.

Připomenutí mocnin

PravidloPříklad
a⁰ = 15⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ1/9 = 1/3² = 3⁻²
(aʳ)ˢ = aʳ·ˢ4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ
aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ5ˣ⁺¹ = 5ˣ · 5

Postup

Najdi společný základ obou stran (často 2, 3, 5 nebo 10).
Přepiš obě strany jako mocniny toho základu.
Porovnej exponenty (funkce je prostá).
Vyřeš obyčejnou rovnici pro exponent.
Ověř dosazením.
Řeš 3ˣ = 1/9.
1/9 = 1/3² = 3⁻². Tedy 3ˣ = 3⁻² → x = −2.
Řeš 4ˣ = 8.
4 = 2², 8 = 2³. (2²)ˣ = 2³ → 2²ˣ = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2 = 1,5. Zkouška: 41,5 = (√4)³ = 8 ✓.
Řeš 5ˣ⁺¹ = 25.
25 = 5². 5ˣ⁺¹ = 5² → x + 1 = 2 → x = 1.

Růst a pokles v praxi

Obecně: počáteční množství · (násobitel)^(počet kroků). Úrok 10 % = násobitel 1,1. Pokles o 20 % = násobitel 0,8.

Podívej se, jak se 10 000 Kč s úrokem 10 % mění rok po roce. Přírůstek je každý rok větší – úrok se počítá i z dřívějších úroků.

100 bakterií, každou hodinu dvojnásobek. Kolik po 5 h?
100 · 2⁵ = 3200.
✗4ˣ = 8 → x = 2 (protože 4 · 2 = 8)
✓x = 1,5

Exponent neříká „krát kolik“, ale „kolikrát se násobí“. 4² = 16, ne 8. Převedením na základ 2 vyjde 2x = 3.

aˣ je vždy kladné a prochází [0; 1]. Exponenciální rovnici řeš převedením obou stran na stejný základ a porovnáním exponentů.
🪜Mocninné funkce🪵Logaritmus