🪵 Logaritmus

Otázkou

O čem to je

Víš, že 2³ = 8. Ale co když znáš výsledek 8 a základ 2 a ptáš se: na kolikátou musím 2 umocnit? Na tuhle otázku odpovídá logaritmus.

Používá se všude, kde se věci násobí: za kolik let se zdvojnásobí úspory, kolikrát silnější je zemětřesení (Richterova stupnice), jak hlasitý je zvuk (decibely), jak kyselý je roztok (pH).

Nové pojmy

Logaritmus logₐ xExponent, na který musíš umocnit základ a, abys dostal x. Čti „logaritmus x při základu a“.log₂ 8 = 3, protože 2³ = 8.
Základ aČíslo, které umocňujeme. Musí být kladné a různé od 1.V log₃ 27 je základ 3.
Dekadický logaritmus logLogaritmus se základem 10. Základ se nepíše.log 1000 = 3, protože 10³ = 1000.
Přirozený logaritmus lnLogaritmus se základem e ≈ 2,718 (Eulerovo číslo – důležitá konstanta podobně jako π).ln e = 1, protože e¹ = e.

Vždy se zeptej: „Na kolikátou?“

Přečti log₂ 16 jako otázku: „2 na kolikátou je 16?“
Zkoušej: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16.
Odpověď: 4. Tedy log₂ 16 = 4.

Procvič si to. Na kartičce je otázka, otoč ji a zkontroluj odpověď.

  • log₂ 8 – 3 (2³ = 8)
  • log 100 – 2 (10² = 100)
  • log₃ 27 – 3 (3³ = 27)
  • log₅ 1 – 0 (5⁰ = 1)
  • log₃ (1/9) – −2 (3⁻² = 1/9)
  • ln e – 1 (e¹ = e)
Řeš log₂ x = 4.
Otázka zní: „2 na čtvrtou je x.“ x = 2⁴ = 16.

Co logaritmovat nejde

Kladné číslo umocněné na cokoli je vždy kladné. Proto nikdy nedostaneš 0 ani záporné číslo – a logaritmus nuly ani záporného čísla neexistuje.

Urči definiční obor y = log(x − 3).
Logaritmovat lze jen kladné číslo: x − 3 > 0 → x > 3. D(f) = (3; ∞).
✗log₅ 1 = 1
✓log₅ 1 = 0

5 na kolikátou je 1? Na nultou: 5⁰ = 1. Logaritmus jedničky je při každém základu 0.

Logaritmus a exponenciální funkce jsou navzájem inverzní – jedna dělá opak druhé. Jejich grafy jsou souměrné podle přímky y = x.

logₐ x = y ⇔ aʸ = x. Logaritmus odpovídá na otázku „na kolikátou?“. Existuje jen pro x > 0; logₐ 1 = 0, logₐ a = 1.

Pravidla

O čem to je

Než existovaly kalkulačky, násobili inženýři velká čísla pomocí logaritmických tabulek a logaritmického pravítka. Trik: logaritmus mění násobení na sčítání, které je mnohem snazší.

Dnes ta pravidla potřebuješ k úpravám výrazů a k řešení rovnic, kde je neznámá v exponentu.

Nové pojmy

Logaritmuslogₐ x = y znamená aʸ = x. Podmínky: a > 0, a ≠ 1, x > 0.log₃ 9 = 2, protože 3² = 9.
log a lnlog bez základu = základ 10. ln = základ e ≈ 2,718.log 10 = 1, ln e = 1.
Logaritmická funkcey = logₐ x. Je inverzní k y = aˣ: D(f) = (0; ∞), H(f) = ℝ. Graf prochází bodem [1; 0].

Pravidla

PravidloProč platíPříklad
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ ypři násobení mocnin se exponenty sčítajílog 2 + log 50 = log 100 = 2
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ ypři dělení se exponenty odčítajílog₂ 32 − log₂ 4 = log₂ 8 = 3
logₐ xⁿ = n · logₐ xmocnina mocniny exponenty násobílog₂ 8 = log₂ 2³ = 3 · log₂ 2 = 3
logₐ 1 = 0, logₐ a = 1a⁰ = 1, a¹ = alog₅ 1 = 0
✗log a + log b = log(a + b)
✓log a + log b = log(a · b)

Logaritmus mění součin na součet. Pro součet žádné pravidlo neexistuje: log 1 + log 1 = 0, ale log 2 ≠ 0.

Výpočty

Spočítej log 2 + log 50.
Součet logaritmů = logaritmus součinu: log(2 · 50) = log 100 = 2.
Spočítej log₂ 32 − log₂ 4.
Rozdíl = logaritmus podílu: log₂ (32/4) = log₂ 8 = 3. Kontrola: 5 − 2 = 3 ✓.
Kolik je log₃ (1/9)?
1/9 = 3⁻², takže log₃ (1/9) = −2.

Logaritmus jako stupnice

Logaritmus „stlačí“ obrovská čísla na malá. Podívej se: čísla 10 až 1 000 000 se liší statisíckrát, jejich logaritmy jen o pár jednotek. Proto se jím měří hlasitost nebo síla zemětřesení.

Rovnici logₐ x = c přepiš na x = aᶜ.
Ověř podmínku x > 0.
Řeš log₂ x = 4.
x = 2⁴ = 16. 16 > 0 ✓.
logₐ x = y ⇔ aʸ = x, jen pro x > 0. Součet logaritmů = log součinu, rozdíl = log podílu, log xⁿ = n · log x. Logaritmus je inverzní k aˣ.
🦠Exponenciální funkce a rovnice🎡Goniometrické funkce