🎡 Goniometrické funkce

Ruské kolo

O čem to je

Sedíš na ruském kole. Kolo se otáčí a ty jsi chvíli vysoko, chvíli nízko, chvíli vpravo, chvíli vlevo – a pořád dokola. Tvoje výška se opakuje s každou otáčkou.

Funkce sinus a kosinus popisují právě takové opakující se děje: kmitání pružiny, střídavý proud v zásuvce, příliv a odliv, zvukové vlny.

Nové pojmy

Jednotková kružniceKružnice se středem v počátku souřadnic [0; 0] a poloměrem 1. To je naše ruské kolo.
Úhel otočení αZačínáš v bodě [1; 0] (vpravo) a otáčíš se proti směru hodinových ručiček o úhel α. Celá otočka je 360°.
Sinus a kosinusPo otočení o α jsi v nějakém bodě kružnice. Jeho x-ová souřadnice (vlevo–vpravo) je cos α, y-ová (výška) je sin α.Po otočení o 90° jsi nahoře v [0; 1]: cos 90° = 0, sin 90° = 1.
Tangenstg α = sin α / cos α. Je to sklon spojnice středu s tvým bodem. Pro cos α = 0 (90°, 270°) neexistuje.tg 45° = 1 – spojnice stoupá pod úhlem 45°.

Vyzkoušej otáčení

Posouvej úhel a představ si, že konec ramena je tvoje sedačka. Kdy je nejvýš (sin = 1)? Kdy nejvíc vpravo (cos = 1)? Kdy je výška záporná?

  • Výška ani vodorovná poloha nepřesáhne poloměr 1: sin i cos jsou vždy v ⟨−1; 1⟩.
  • Pythagorova věta v trojúhelníku se stranami cos α, sin α a 1: sin² α + cos² α = 1.
  • Po celé otočce (360°) jsi zpátky – hodnoty se opakují. Říkáme, že sin a cos mají periodu 360°.
Radián (rad)Jiná jednotka úhlu: měří, jak dlouhý oblouk po kole ujedeš. Obvod kola s poloměrem 1 je 2π, proto celá otočka = 2π rad, půl otočky 180° = π rad, čtvrt otočky 90° = π/2.Perioda sinu a kosinu je tedy 2π.

Proč je sin 30° = 1/2? Vezmi body pro +30° a −30°. Se středem tvoří trojúhelník se dvěma stranami 1 a úhlem 60° mezi nimi – tedy rovnostranný. Vzdálenost těch bodů je 1 a každý z nich je v polovině: výška 1/2. Podobně bod pro 60° tvoří se středem a bodem [1; 0] rovnostranný trojúhelník, takže leží přesně nad polovinou poloměru: cos 60° = 1/2. A pro 45° jsou x i y stejné, proto tg 45° = 1.

Souměrnosti na kole

Otočení o 30° a o 150° tě dostane do stejné výšky (zrcadlově vlevo). Proto sin 150° = sin 30° = 1/2. Kosinus se ale změní na opačné číslo: cos 120° = −cos 60° = −1/2.

Otočení o −α (po směru hodin) dá stejné x, opačné y. Proto cos(−α) = cos α – kosinus je sudá funkce. Sinus je lichá: sin(−α) = −sin α.

Kolik je sin 150°?
150° = 180° − 30°. Bod je zrcadlově k bodu pro 30°, ve stejné výšce. sin 150° = sin 30° = 1/2.
Kolik je cos 120°?
120° = 180° − 60°. Bod je vlevo, zrcadlově k 60°. Výška stejná, ale x opačné: cos 120° = −cos 60° = −1/2.
✗sin 150° = −1/2, protože je to „za devadesátkou“.
✓sin 150° = 1/2

Bod pro 150° je ve II. kvadrantu (vlevo nahoře). Je pořád nad osou x, takže výška (sinus) je kladná. Záporný je jen kosinus.

Na jednotkové kružnici: cos α = x-ová souřadnice, sin α = y-ová. Hodnoty jsou v ⟨−1; 1⟩, sin² α + cos² α = 1, po 360° se opakují.

Radiány a tabulka

O čem to je

Ve vyšší matematice a fyzice se úhly neměří ve stupních, ale v radiánech – je to přirozenější jednotka, protože vychází z délky oblouku. Kalkulačka v módu RAD a DEG dává úplně jiné výsledky.

Tady se naučíš převádět jednotky, zapamatovat si hodnoty pro nejčastější úhly a znát vlastnosti funkcí sin, cos, tg.

Nové pojmy

Jednotková kružniceKružnice s poloměrem 1 a středem v [0; 0]. Bod otočený z [1; 0] o úhel α má souřadnice [cos α; sin α].
Radián (rad)Úhel, jehož oblouk na jednotkové kružnici je dlouhý 1. Celá kružnice má obvod 2π, proto 360° = 2π rad a 180° = π rad.90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6.
PeriodaNejmenší posun, po kterém se hodnoty funkce začnou opakovat.sin a cos mají periodu 2π, tg má periodu π.

Převod jednotek

Stupně → radiány: vynásob π/180.
Radiány → stupně: vynásob 180/π.
Rychlá kontrola: π rad = 180°.
Převeď 90° na radiány a 2π/3 na stupně.
90 · π/180 = π/2. 2π/3 · 180/π = 360/3 = 120°.

Tabulka hodnot

α0°30° (π/6)45° (π/4)60° (π/3)90° (π/2)
sin α01/2√2/2√3/21
cos α1√3/2√2/21/20
tg α0√3/31√3neexistuje

Pomůcka: sinus pro 0°, 30°, 45°, 60°, 90° je √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Kosinus je ta samá řada pozpátku.

Nastav úhel 60° a odhadni, jak vysoko je konec ramena oproti jeho délce – mělo by to být asi 0,87 (√3/2).

Vlastnosti

sin xcos xtg x
obor hodnot⟨−1; 1⟩⟨−1; 1⟩ℝ
perioda2π2ππ
sudá / lichálichásudálichá
kde neexistuje——π/2 + kπ
  • sin² x + cos² x = 1
  • sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α
Spočítej sin 150° a cos 120°.
sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2. cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2.
✗Nejmenší perioda tg x je 2π, stejně jako u sinu.
✓Perioda tg x je π.

Body pro α a α + 180° leží přesně naproti sobě. Sinus i kosinus mají opačná znaménka, a jejich podíl tg je tedy stejný.

180° = π rad. sin a cos: hodnoty v ⟨−1; 1⟩, perioda 2π, cos sudá, sin lichá. tg = sin/cos s periodou π. Vždy platí sin² x + cos² x = 1.
🪵Logaritmus🔁Goniometrické rovnice