🔁 Goniometrické rovnice

Na kružnici

O čem to je

Sedíš na ruském kole a ptáš se: „Kdy budu ve výšce přesně poloviny poloměru?“ Odpovědí není jeden okamžik – během každé otočky jsi v té výšce dvakrát (cestou nahoru a cestou dolů). A kolo se točí dál, takže znovu a znovu.

Goniometrické rovnice hledají úhly, pro které má sinus, kosinus nebo tangens danou hodnotu. Potřebuje je fyzika kmitů, elektrotechnika i navigace.

Nové pojmy

Jednotková kružniceKružnice s poloměrem 1 a středem v [0; 0]. Bod otočený z [1; 0] o úhel x (proti směru hodin) má souřadnice [cos x; sin x]. Sinus je tedy výška bodu, kosinus vodorovná poloha.
RadiánJednotka úhlu: 180° = π rad. Tedy 30° = π/6, 90° = π/2, 360° = 2π.
Goniometrická rovniceRovnice, kde je neznámá uvnitř sin, cos nebo tg.sin x = 1/2

Hledání na kružnici

sin x = c: nakresli vodorovnou čáru ve výšce c. Kde protne kružnici, tam jsou řešení.
cos x = c: nakresli svislou čáru ve vzdálenosti c od osy y.
Urči úhly těch průsečíků (v jedné otočce ⟨0; 2π)).
Přidej „+ 2kπ“ (k je libovolné celé číslo) – po každé celé otočce jsi na stejném místě.
Řeš sin x = 1/2 v ⟨0; 2π).
Vodorovná čára ve výšce 1/2 protne kružnici dvakrát: vpravo při 30° = π/6 a zrcadlově vlevo při 180° − 30° = 150° = 5π/6. Řešení π/6 a 5π/6.

Nastav úhel 30° a pak 150°. Konec ramena je v obou případech ve stejné výšce – obě hodnoty jsou řešením sin x = 1/2.

Řeš cos x = 0 v ⟨0; 2π).
Svislá čára x = 0 je osa y. Protne kružnici nahoře (90° = π/2) a dole (270° = 3π/2). Řešení π/2 a 3π/2.

Zvláštní případy

  • sin x = 1: čára se kružnice jen dotkne nahoře → jediné řešení π/2 v jedné otočce.
  • cos x = −1: jen bod úplně vlevo → x = π + 2kπ.
  • sin x = 2: čára ve výšce 2 je nad kružnicí → žádné řešení. Sinus nikdy nepřesáhne 1.
✗sin x = 1/2 má jediné řešení x = π/6.
✓x = π/6 + 2kπ nebo x = 5π/6 + 2kπ

V každé otočce jsou dva body v dané výšce, a otoček je nekonečně mnoho. Kalkulačka ukáže jen jeden z nich.

Tangens

tg x = sin x / cos x. Body naproti sobě (x a x + π) mají tangens stejný, proto u tangentu přidáváme jen + kπ. Například tg x = 1 → x = π/4 + kπ.

Kolik řešení má sin² x = 1/4 v ⟨0; 2π)?
sin x = 1/2 nebo sin x = −1/2. Každá výška dá dva body: π/6, 5π/6 a 7π/6, 11π/6. Celkem 4 řešení.

Při úpravách se hodí dvě rovnosti. Z Pythagorovy věty na kružnici: sin² x + cos² x = 1, tedy cos² x = 1 − sin² x. A vzorec pro dvojnásobný úhel: sin 2x = 2 sin x cos x.

Řešení najdi na jednotkové kružnici: pro sin vodorovná čára, pro cos svislá. Většinou dva body za otočku, pak + 2kπ (u tg + kπ). Pro |c| > 1 nemá sin x = c ani cos x = c řešení.

Postupem

O čem to je

Složitější rovnice jako 2 sin² x − sin x − 1 = 0 vypadají děsivě. Ale jsou to vlastně obyčejné rovnice v přestrojení. Stačí je správně „svléknout“.

Naučíš se přesný postup: upravit rovnici na tvar sin x = číslo a pak najít všechna řešení.

Nové pojmy

sin, cos, tgFunkce úhlu. Na jednotkové kružnici (poloměr 1) je cos x vodorovná a sin x svislá souřadnice bodu otočeného o úhel x. tg x = sin x / cos x.
PeriodicitaHodnoty se opakují: sin a cos po 2π (celá otočka), tg po π. k v zápisu „+ 2kπ“ je libovolné celé číslo (…, −1, 0, 1, 2, …).
SubstituceDočasné nahrazení složitého výrazu jedním písmenem.Za sin x napíšeš t a řešíš obyčejnou rovnici s t.

Základní hodnoty

RovniceŘešení v ⟨0; 2π)Všechna řešení
sin x = 1/2π/6, 5π/6π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ
sin x = −1/27π/6, 11π/67π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ
sin x = 1π/2π/2 + 2kπ
cos x = 0π/2, 3π/2π/2 + kπ
cos x = −1ππ + 2kπ
tg x = 1π/4, 5π/4π/4 + kπ

Postup

Uprav rovnici tak, aby na jedné straně zůstala jen goniometrická funkce (sin x = …).
Pokud se v ní objevuje sin² x a sin x, použij substituci t = sin x a vyřeš kvadratickou rovnici.
Zahoď hodnoty mimo ⟨−1; 1⟩ – sin ani cos je nenabývají.
Najdi úhly v jedné otočce a přidej periodu.
Řeš 2 sin x − 1 = 0.
2 sin x = 1 → sin x = 1/2 → x = π/6 + 2kπ nebo x = 5π/6 + 2kπ.
Řeš 2 sin² x − sin x − 1 = 0.
Substituce t = sin x: 2t² − t − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9, t = (1 ± 3)/4 → t = 1 nebo t = −1/2. sin x = 1 → x = π/2 + 2kπ. sin x = −1/2 → x = 7π/6 + 2kπ nebo 11π/6 + 2kπ.

Nastav úhel 210° (7π/6) a 330° (11π/6). Rameno míří dolů – výška je záporná, sin = −1/2.

Užitečné vzorce

  • sin² x + cos² x = 1, tedy cos² x = 1 − sin² x – převede rovnici jen na sin.
  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos² x − sin² x
✗sin x = 2 má řešení, jen je těžké ho najít.
✓Rovnice nemá řešení.

Sinus je výška bodu na kružnici s poloměrem 1, takže −1 ≤ sin x ≤ 1. Hodnotu 2 nikdy nenabude.

Uprav na sin x = c (případně substitucí). Je-li |c| > 1, řešení není. Jinak najdi úhly v jedné otočce a přidej + 2kπ (u tg + kπ).
🎡Goniometrické funkce🗻Trigonometrie