🗻 Trigonometrie

Měříme svět

O čem to je

Jak vysoký je strom, když na jeho vrcholek nevylezeš? Postavíš se 20 m od něj a změříš, pod jakým úhlem se díváš na špičku. Zbytek dopočítáš. Přesně tak měřili zeměměřiči výšky hor.

Trigonometrie spojuje úhly a délky v trojúhelníku. Bez ní by nebyla GPS, navigace lodí ani stavba střech.

Nové pojmy

Pravoúhlý trojúhelníkTrojúhelník s pravým úhlem (90°). Nejdelší strana naproti pravému úhlu je přepona, dvě kratší jsou odvěsny.
Protilehlá a přilehlá odvěsnaVzhledem k ostrému úhlu α: protilehlá odvěsna leží naproti α, přilehlá je u α (tvoří jeho rameno).U stromu: výška stromu je protilehlá k úhlu pohledu, vzdálenost od stromu přilehlá.
sin, cos, tg ostrého úhluPoměry stran: sin α = protilehlá / přepona, cos α = přilehlá / přepona, tg α = protilehlá / přilehlá. Pro daný úhel jsou vždy stejné, ať je trojúhelník velký nebo malý.Trojúhelník 3, 4, 5: pro úhel naproti straně 3 je sin α = 3/5, cos α = 4/5, tg α = 3/4.

Pomůcka: v trojúhelníku 3–4–5 nastav odvěsny a = 3, b = 4 a podívej se na přeponu. Pak zkus 6 a 8 – úhly zůstanou stejné, jen je trojúhelník dvakrát větší, a poměry stran se nezmění.

Strom: stojíš 20 m od něj a na špičku se díváš pod úhlem 45°. Jak je vysoký (bez výšky očí)?
Hledám protilehlou (výšku v), znám přilehlou (20 m). tg 45° = v / 20. tg 45° = 1, takže v = 20 m.
Žebřík dlouhý 5 m svírá se zemí úhel 60°. Jak daleko od zdi je jeho pata?
Žebřík je přepona, vzdálenost od zdi je přilehlá k úhlu u země. cos 60° = d / 5 → d = 5 · 1/2 = 2,5 m.

Když trojúhelník není pravoúhlý

Obecný trojúhelník rozdělíš výškou na dva pravoúhlé. Z toho vzniknou dvě věty, které fungují pro každý trojúhelník (a, b, c jsou strany, α, β, γ úhly naproti nim).

Sinová větaa / sin α = b / sin β = c / sin γ. Poměr strany a sinu úhlu naproti ní je v trojúhelníku všude stejný.Použij, když znáš dva úhly a stranu.
Kosinová větac² = a² + b² − 2ab · cos γ. „Pythagorova věta s opravou“ pro úhel γ, který není pravý.Použij, když znáš dvě strany a úhel mezi nimi.
a = 5, b = 8, γ = 60°. Jak dlouhá je c?
c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 89 − 80 · 1/2 = 89 − 40 = 49 → c = 7.
✗sin α = přilehlá / přepona
✓sin α = protilehlá / přepona, cos α = přilehlá / přepona

Sinus patří ke straně naproti úhlu, kosinus ke straně, která k úhlu přiléhá (tvoří jeho rameno). Vždy si nakresli obrázek a úhel vyznač obloučkem – pak hned vidíš, která strana je která.

Pro γ = 90° je cos γ = 0 a kosinová věta se změní na c² = a² + b² – Pythagorovu větu.

V pravoúhlém △: sin = protilehlá/přepona, cos = přilehlá/přepona, tg = protilehlá/přilehlá. V obecném △: sinová věta (dva úhly + strana) a kosinová věta (dvě strany + úhel mezi nimi).

Kterou větu vzít

O čem to je

Úloha řekne tři údaje o trojúhelníku a chce čtvrtý. Celé umění je poznat, který vzorec použít. Tady je rozhodovací tabulka a postupy.

„Vyřešit trojúhelník“ znamená dopočítat všechny strany a úhly. Tři vhodné údaje vždy stačí.

Nové pojmy

ZnačeníVrcholy A, B, C. Strana a leží naproti vrcholu A (a úhlu α), b naproti B (β), c naproti C (γ).
Goniometrické funkce v pravoúhlém △Pro ostrý úhel α: sin α = protilehlá odvěsna / přepona, cos α = přilehlá odvěsna / přepona, tg α = protilehlá / přilehlá.Odvěsny 3 a 4, přepona 5: sin α = 3/5 = 0,6.
Hodnoty pro známé úhlysin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0.

Rozhodovací tabulka

ZnámHledámPoužij
pravoúhlý △, stranyúhelsin / cos / tg
pravoúhlý △, úhel + stranajinou stranusin / cos / tg
2 úhly + 1 stranudalší stranusinová věta a/sin α = b/sin β
2 strany + úhel mezi nimitřetí stranukosinová věta c² = a² + b² − 2ab cos γ
3 stranyúhelkosinová věta, vyjádři cos γ
2 strany + úhel mezi nimiobsahS = ½ · a · b · sin γ

Řešené příklady

Pravoúhlý △: protilehlá 3, přilehlá 4, přepona 5. Urči sin α, cos α, tg α.
sin α = 3/5 = 0,6, cos α = 4/5 = 0,8, tg α = 3/4 = 0,75.
a = 10, α = 30°, β = 90°. Urči b.
Dva úhly a strana → sinová věta: b = a · sin β / sin α = 10 · 1 / 0,5 = 20.
a = 5, b = 8, γ = 60°. Urči c.
Dvě strany a úhel mezi nimi → kosinová věta: c² = 25 + 64 − 80 · 0,5 = 49 → c = 7.
a = 4, b = 6, γ = 30°. Urči obsah.
S = ½ · 4 · 6 · sin 30° = ½ · 24 · ½ = 6.

Proč vzorec pro obsah funguje

Obsah = ½ · základna · výška. Výška na stranu a je v = b · sin γ (výška je protilehlá k γ, b je přepona malého pravoúhlého trojúhelníku). Proto S = ½ · a · b · sin γ.

Nastav úhel 30°, pak 90° a 150°. Při 90° je sin největší (1) – trojúhelník se stejnými stranami má největší obsah, když svírají pravý úhel.

✗Kosinová věta: c² = a² + b² + 2ab cos γ
✓c² = a² + b² − 2ab cos γ

Pro tupý úhel γ (cos γ < 0) musí vyjít c delší než podle Pythagorovy věty. To zajistí právě minus: − 2ab · (záporné číslo) = plus.

Pravoúhlý △ → sin, cos, tg. Dva úhly + strana → sinová věta. Dvě strany + úhel mezi nimi nebo tři strany → kosinová věta. Obsah S = ½ab sin γ.
🔁Goniometrické rovnice