〰️ Lomená funkce

Nepřímá úměrnost

O čem to je

Šest dělníků postaví plot za 10 dní. Kdyby jich bylo víc, bude to rychlejší; kdyby méně, potrvá to déle. Čím víc jednoho, tím méně druhého.

Stejně funguje rychlost a čas na stejné trase nebo počet lidí a velikost dílku pizzy. Takovou závislost popisuje lomená funkce y = k/x.

Nové pojmy

Nepřímá úměrnostKolikrát zvětšíš x, tolikrát se zmenší y. Součin x · y je pořád stejné číslo k. Předpis y = k/x.6 dělníků · 10 dní = 60 „dělníkodní“. 5 dělníků: 60 : 5 = 12 dní.

Lomená funkceFunkce, která má proměnnou x ve jmenovateli zlomku. Nejjednodušší je y = k/x (k ≠ 0).y = 12/x: f(4) = 12/4 = 3.

Stálý součin na tečkách

Nastav obdélník 3 × 4 = 12 teček. Teď zkus najít jiné obdélníky, které mají taky 12 teček: 2 × 6, 6 × 2, 1 × 12… Když jednu stranu zvětšíš, druhá se musí zmenšit – to je nepřímá úměrnost.

Auto ujede 120 km. Při 60 km/h mu to trvá 2 h. Jak dlouho při 80 km/h?

Dráha = rychlost · čas = 120, tedy čas t = 120/v. t = 120/80 = 1,5 h.

Jak vypadá graf

HyperbolaGraf y = k/x. Má dvě oddělené větve. Pro k > 0 leží v I. kvadrantu (x i y kladné) a III. kvadrantu (x i y záporné).y = 1/x: body [1; 1], [2; 0,5], [0,5; 2], [−1; −1], [−2; −0,5].

KvadrantČtvrtina roviny, kterou oddělí osy. I. vpravo nahoře, II. vlevo nahoře, III. vlevo dole, IV. vpravo dole.

AsymptotaPřímka, ke které se graf donekonečna přibližuje, ale nikdy se jí nedotkne.y = 1/x se blíží ose x (y = 0) i ose y (x = 0).

Proč? x = 0 dosadit nejde (nulou nedělíme), proto graf osu y nikdy neprotne. A k/x nikdy není přesně 0, proto graf neprotne ani osu x.

✗y = 1/x je klesající na celém definičním oboru.

✓Klesá zvlášť na (−∞; 0) a zvlášť na (0; ∞).

Vezmi −1 < 1: f(−1) = −1 a f(1) = 1. Hodnota vzrostla, takže na celém oboru klesající není.

Posunutá hyperbola

y = 1/(x − 2) + 3 je hyperbola y = 1/x posunutá o 2 doprava a o 3 nahoru. Asymptoty se posunou s ní: svislá x = 2, vodorovná y = 3.

Urči D(f) a asymptoty y = 3/(x + 2).

Jmenovatel ≠ 0: x ≠ −2, D(f) = ℝ ∖ {−2}. Svislá asymptota x = −2, vodorovná y = 0.

y = k/x: nepřímá úměrnost, součin x · y = k je stálý. Graf je hyperbola se dvěma větvemi (k > 0: I. a III. kvadrant). y = k/(x − m) + n má asymptoty x = m a y = n.

Rozbor předpisu

O čem to je

V technice a ekonomii se objevují funkce jako y = (2x + 1)/(x − 1). Abys věděl, jak se chovají – kde nejsou definované, k čemu se blíží – musíš předpis umět rozebrat.

Klíčová dovednost: převést zlomek na tvar „hyperbola y = k/x, posunutá“. Z něj vše přečteš.

Nové pojmy

Lomená funkceFunkce, kde x je ve jmenovateli. Základní tvar y = k/x, k ≠ 0.

Definiční obor D(f)Čísla, která smíš dosadit. U zlomku musí být jmenovatel různý od nuly. ℝ ∖ {a} znamená „všechna reálná čísla kromě a“.y = 3/(x + 2): x ≠ −2.

HyperbolaGraf y = k/x: dvě větve. k > 0 → I. a III. kvadrant (pravý horní a levý dolní), k < 0 → II. a IV.

AsymptotaPřímka, ke které se větve grafu blíží, ale nedotknou se jí. Svislá je tam, kde je jmenovatel nula. Vodorovná ukazuje, k čemu se blíží y pro hodně velká x.

Tvar s posunem

Předpis	Svislá asymptota	Vodorovná asymptota
y = k/x	x = 0	y = 0
y = k/(x − m)	x = m	y = 0
y = k/x + n	x = 0	y = n
y = k/(x − m) + n	x = m	y = n

y = 1/(x − 2) + 3. Urči asymptoty.

m = 2, n = 3. Svislá x = 2, vodorovná y = 3. Střed hyperboly je v bodě [2; 3].

Převedení na tvar s posunem

Napiš čitatel jako „násobek jmenovatele + zbytek“.

Rozděl zlomek na dva.

Přečti n (číslo navíc), m (z jmenovatele) a k (zbytek v čitateli).

Urči vodorovnou asymptotu y = (2x + 1)/(x − 1).

2x + 1 = 2(x − 1) + 3. Tedy y = 2(x − 1)/(x − 1) + 3/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1). Vodorovná asymptota y = 2, svislá x = 1.

Vlastnosti y = k/x

Lichá: k/(−x) = −k/x, graf souměrný podle počátku.
Pro k > 0 klesá na (−∞; 0) a zvlášť na (0; ∞) – ne na celém D(f).
Nepřímá úměrnost: x · y = k. Dvojnásobné x → poloviční y.

Nepřímou úměrnost si ověř na tečkách: najdi co nejvíc obdélníků se 12 tečkami. Součin řádků a sloupců je vždy 12.

6 dělníků to zvládne za 10 dní. Za kolik dní 5 dělníků?

Součin je stálý: 6 · 10 = 60. 5 · t = 60 → t = 12 dní.

✗Vodorovná asymptota y = (2x + 1)/(x − 1) je y = 1.

✓Je y = 2.

Pro velká x se 2x + 1 chová jako 2x a x − 1 jako x, takže zlomek se blíží 2x/x = 2. Spolehlivě to ukáže rozklad 2 + 3/(x − 1).

Jmenovatel ≠ 0 dává D(f) i svislou asymptotu. Převeď na y = k/(x − m) + n: asymptoty x = m, y = n. y = k/x je lichá, popisuje nepřímou úměrnost.

🌈Kvadratická funkce🪜Mocninné funkce