🌈 Kvadratická funkce

Posouváním

O čem to je

Proud vody z fontány, dráha hozeného míče, oblouk mostu – to všechno má tvar paraboly. A kde je nejvyšší bod? Kde dopadne? To jsou otázky na kvadratickou funkci.

V praxi se s ní hledá i nejlepší možnost: jaká cena přinese největší zisk, jaký tvar ohrady má největší plochu. To je vždy vrchol paraboly.

Nové pojmy

Kvadratická funkceFunkce y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Nejvyšší mocnina x je druhá.y = x² − 4x + 3
ParabolaGraf kvadratické funkce – souměrný oblouk tvaru U (nebo převráceného U).
Vrchol VBod, kde se parabola otáčí – nejnižší (minimum) nebo nejvyšší (maximum) bod grafu.y = x² má vrchol V[0; 0].
Osa parabolySvislá přímka vrcholem. Parabola je podle ní zrcadlově souměrná.

Základ: y = x²

Spočítej pár bodů: x = 0 → 0, x = ±1 → 1, x = ±2 → 4, x = ±3 → 9. Vyjde U s vrcholem v počátku. Z této základní paraboly vznikne každá jiná posunutím a roztažením.

Co dělají jednotlivá čísla

  • a > 0: otevřená nahoru, vrchol je minimum. a < 0: otevřená dolů, vrchol je maximum.
  • |a| > 1: užší (rychleji stoupá), |a| < 1: širší. Svislé čáry |a| znamenají „a bez znaménka“.
  • y = (x − m)²: posun o m doprava (pro m záporné doleva).
  • y = x² + n: posun o n nahoru (pro n záporné dolů).

Vyzkoušej: změň a na 2 – parabola se zúží. Pak na −1 – obrátí se dolů. Hýbej c – celá parabola jezdí nahoru a dolů.

✗y = (x − 3)² je posunutá o 3 doleva (kvůli minusu).
✓Je posunutá o 3 doprava.

Vrchol je tam, kde je závorka nula: x − 3 = 0 → x = 3. To je vpravo od nuly.

Vrcholový tvar

Vrcholový tvary = a(x − m)² + n. Vrchol přečteš hned: V[m; n].y = (x − 2)² + 3 má vrchol V[2; 3].
Urči vrchol a obor hodnot y = (x + 1)² − 4.
x + 1 = x − (−1), takže m = −1, n = −4. V[−1; −4]. Parabola je otevřená nahoru, nejníž je −4: H(f) = ⟨−4; ∞).
Má y = −x² + 2 maximum, nebo minimum? Jaké?
a = −1 < 0 → otevřená dolů, vrchol je maximum. Vrchol [0; 2], maximum je 2.
Parabola y = a(x − m)² + n vznikne z y = x²: a určuje směr (znaménko) a šířku, m posun doprava, n posun nahoru. Vrchol je V[m; n].

Výpočtem

O čem to je

Zahradník má 20 m pletiva a chce ohradit obdélník s co největší plochou. Plocha je x · (10 − x) = −x² + 10x – kvadratická funkce. Největší plocha je ve vrcholu.

Funkce ale většinou nedostaneš v hezkém tvaru. Naučíš se z obecného předpisu y = ax² + bx + c spočítat všechno důležité: vrchol, průsečíky s osami a obor hodnot.

Nové pojmy

Kvadratická funkcey = ax² + bx + c (a ≠ 0). Grafem je parabola – souměrný oblouk.
VrcholNejnižší nebo nejvyšší bod paraboly. Jeho x-ová souřadnice je x₀ = −b/(2a).
Průsečíky s osamiS osou y: dosadíš x = 0, vyjde c. S osou x: řešíš ax² + bx + c = 0.
Doplnění na čtverecÚprava na tvar (x − m)² + n pomocí vzorce (x − m)² = x² − 2mx + m².x² + 6x + 10 = (x² + 6x + 9) + 1 = (x + 3)² + 1.

Postup – vyšetření paraboly

Podle znaménka a urči směr: a > 0 nahoru, a < 0 dolů.
Vrchol: x₀ = −b/(2a), y₀ dosazením x₀ do předpisu.
Osa souměrnosti je přímka x = x₀.
Průsečík s osou y je [0; c].
Průsečíky s osou x: vyřeš ax² + bx + c = 0.
Obor hodnot: od y₀ nahoru (a > 0), nebo od y₀ dolů (a < 0).
Vyšetři y = x² − 4x + 3.
a = 1 > 0 → nahoru. x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 + 3 = −1 → V[2; −1]. Osa y: [0; 3]. Osa x: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 a x = 3. H(f) = ⟨−1; ∞).

Zkontroluj v grafu: vidíš vrchol [2; −1] a průsečíky 1 a 3? Změň c na 4 – vrchol se zvedne na osu x (jediný kořen 2).

Najdi minimum y = x² + 6x + 10.
Doplním na čtverec: (x + 3)² + 1. Závorka na druhou je nejméně 0 (pro x = −3), proto minimum je 1.
Jaká je osa souměrnosti y = x² − 6x + 1?
x₀ = −b/(2a) = 6/2 = 3. Osa je přímka x = 3.
✗x₀ = b/(2a) = −6/2 = −3 pro y = x² − 6x + 1
✓x₀ = −b/(2a) = −(−6)/2 = 3

Ve vzorci je minus před b. Když je b záporné, vyjde x₀ kladné.

Zahradník: y = −x² + 10x, x₀ = −10/(−2) = 5. Obdélník 5 × 5 m, plocha 25 m² – největší možná.

Vrchol: x₀ = −b/(2a), y₀ dosazením (nebo doplň na čtverec). Osa y v [0; c], osa x z kvadratické rovnice. a > 0: minimum, H = ⟨y₀; ∞); a < 0: maximum, H = (−∞; y₀⟩.
📏Lineární funkce〰️Lomená funkce