📏 Lineární funkce

Taxíkem

O čem to je

Taxi účtuje 40 Kč za nástup a 25 Kč za každý kilometr. Za 0 km zaplatíš 40 Kč, za 1 km 65 Kč, za 2 km 90 Kč… Každý kilometr přidá stejnou částku.

Takové závislosti jsou všude: tarif za vodu, plnění bazénu, vzdálenost při stálé rychlosti. Popisuje je lineární funkce – a její graf je obyčejná přímka.

Nové pojmy

Lineární funkceFunkce s předpisem y = kx + q, kde k a q jsou pevná čísla. Grafem je přímka.Taxi: y = 25x + 40 (x = km, y = cena v Kč).
Směrnice kO kolik se změní y, když x vzroste o 1. U taxíku je to cena za 1 km. k > 0 → přímka stoupá (funkce rostoucí), k < 0 → klesá, k = 0 → vodorovná (konstantní).y = −2x + 3: každý krok doprava jde o 2 dolů → klesající.
Úsek qHodnota y pro x = 0 – místo, kde přímka protne svislou osu y. U taxíku cena za nástup.y = 3x + 4 protíná osu y v bodě [0; 4].
Kolik stojí taxi na 8 km?
y = 25 · 8 + 40 = 200 + 40 = 240 Kč.

Vyzkoušej k a q

Nejdřív hýbej jen posuvníkem q – přímka se posouvá nahoru a dolů, ale sklon zůstává. Pak hýbej k – přímka se otáčí kolem bodu [0; q].

Kde přímka protne osy

Osu y protne v q (dosadíš x = 0). Osu x protne tam, kde y = 0 – vyřešíš rovnici kx + q = 0.

Kde protne y = 2x − 6 osu x?
2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3. Bod [3; 0].

Zvláštní případy

Konstantní funkcek = 0, tedy y = q. Hodnota se nemění, graf je vodorovná přímka.y = 5 – paušál 5 Kč, ať jedeš kolik chceš.
Přímá úměrnostq = 0, tedy y = kx (k ≠ 0). Kolikrát zvětšíš x, tolikrát se zvětší y. Graf prochází počátkem [0; 0].Cena rohlíků: y = 3x. Dvakrát víc rohlíků = dvakrát vyšší cena.
✗Taxi y = 25x + 40 je přímá úměrnost – víc km, víc peněz.
✓Není: za 2 km zaplatíš 90 Kč, ne dvojnásobek 65 Kč.

Přímá úměrnost musí mít q = 0. Nástupné 40 Kč tu „dvojnásobnost“ kazí.

Rovnoběžné přímky mají stejné k (stejný sklon), liší se jen q. Například y = 3x − 1 a y = 3x + 7.

y = kx + q: k = o kolik vzroste y při kroku x o 1 (sklon), q = průsečík s osou y. k > 0 roste, k < 0 klesá, k = 0 konstantní. q = 0 → přímá úměrnost.

Ze dvou bodů

O čem to je

Ve fyzice naměříš: v čase 1 s je vozík na 5 m, v čase 3 s na 11 m. Jede rovnoměrně. Kde byl na začátku a jak rychle jede? Z dvou naměřených bodů jde celá přímka dopočítat.

Tohle je nejčastější úloha s lineární funkcí: z údajů najít předpis a pak s ním předpovídat.

Nové pojmy

Lineární funkcef(x) = kx + q. Pro každé x vypočítáš y: vynásobíš k a přičteš q. Graf je přímka.
Bod grafu [x; y]Dvojice čísel: první je vstup x, druhé výstup y. Bod leží na grafu, když po dosazení x vyjde právě y.[2; 5] leží na y = 2x + 1, protože 2 · 2 + 1 = 5.
Směrnice kSklon přímky: k = (změna y) / (změna x) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).Z [0; 1] do [2; 5]: y vzroste o 4, x o 2 → k = 4/2 = 2.
Úsek qHodnota funkce v nule, f(0). Průsečík s osou y.

Postup: předpis ze dvou bodů

Spočítej k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
Dosaď jeden bod a k do y = kx + q.
Dopočítej q.
Ověř druhým bodem.
f(1) = 5, f(3) = 11. Najdi k a q.
k = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3. Dosadím [1; 5]: 5 = 3 · 1 + q → q = 2. Ověření: 3 · 3 + 2 = 11 ✓. Předpis f(x) = 3x + 2.
Přímka prochází body [0; 1] a [2; 5]. Jaká je směrnice?
k = (5 − 1)/(2 − 0) = 2. Protože první bod je [0; 1], hned vidíš i q = 1.

Ověř si to: nastav k = 3 a q = 2. Najdi na přímce bod [0; 2] (úsek q) a bod [1; 5] (o krok doprava, o 3 nahoru).

Co z k a q vyčteš

PřípadFunkce jeGraf
k > 0rostoucístoupá
k < 0klesajícíklesá
k = 0konstantní (y = q)vodorovná přímka
q = 0, k ≠ 0přímá úměrnost y = kxprochází počátkem
stejné krovnoběžné přímkystejný sklon
Kde protíná y = 3x + 4 osu y a kde osu x?
Osa y: x = 0 → y = 4. Osa x: 3x + 4 = 0 → x = −4/3.
✗k = (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁)
✓k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Směrnice říká, o kolik se změní y na jeden krok v x. Změna y patří nahoru.

Ze dvou bodů: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), q dopočítáš dosazením. Graf y = kx + q je přímka; stejné k = rovnoběžky, q = 0 = přímá úměrnost.
📈Funkce a její vlastnosti🌈Kvadratická funkce