📈 Funkce a její vlastnosti

Jako automat

O čem to je

Automat na nápoje: vhodíš číslo tlačítka a vypadne přesně jedna věc. Stiskneš 12, dostaneš vodu. Stiskneš 12 znovu – zase vodu, ne jednou vodu a jednou colu.

Funkce je takový matematický automat: vložíš číslo, dostaneš číslo. Funkcemi popisujeme, jak jedna veličina závisí na druhé – cena na počtu kusů, dráha na čase, teplota na hodině dne.

Nové pojmy

FunkcePravidlo, které každému povolenému vstupu x přiřadí právě jeden výstup y. Zapisujeme y = f(x) – „f z x“.f(x) = 2x² − 3. Pro x = −2: f(−2) = 2 · 4 − 3 = 5.
Definiční obor D(f)Všechna x, která smíš do automatu vložit – pro která má předpis smysl.U f(x) = 1/(x − 1) nesmíš dát x = 1 (dělil bys nulou). D(f) = ℝ ∖ {1}, tedy všechna reálná čísla kromě 1.
Obor hodnot H(f)Všechna y, která z automatu mohou vypadnout.f(x) = x² + 1: x² je vždy aspoň 0, takže výsledek je aspoň 1. H(f) = ⟨1; ∞).
GrafObrázek funkce: pro každé x nakreslíš bod [x; f(x)] do souřadnic (vodorovná osa x, svislá osa y).

Co automat nesnese

Při hledání D(f) hlídej dvě zakázané věci: dělení nulou a sudou odmocninu ze záporného čísla.

Urči D(f) pro f(x) = √(x + 2).
Pod odmocninou nesmí být záporné číslo: x + 2 ≥ 0, tedy x ≥ −2. D(f) = ⟨−2; ∞).

Jak se automat chová

Rostoucí / klesajícíRostoucí: větší vstup → větší výstup (graf jde zleva doprava nahoru). Klesající: větší vstup → menší výstup.y = x² na ⟨0; ∞) roste, na (−∞; 0⟩ klesá – na celém ℝ tedy rostoucí není.

Vyzkoušej si to na přímce: když je k kladné, graf stoupá (rostoucí). Posuň k do záporu – graf klesá.

Sudá funkcePro x a −x dává stejný výsledek: f(−x) = f(x). Graf je zrcadlově souměrný podle osy y.x²: (−3)² = 3² = 9.
Lichá funkcePro −x dává opačný výsledek: f(−x) = −f(x). Graf je souměrný podle počátku [0; 0] (otočení o 180°).x³: (−2)³ = −8 = −(2³).
Prostá funkceRůzné vstupy dávají vždy různé výstupy. Žádná vodorovná přímka neprotne graf víckrát než jednou.x³ je prostá. x² prostá není: 2 i −2 dají 4.
Omezená funkceShora omezená: existuje číslo h, nad které hodnoty nikdy nevyskočí (f(x) ≤ h). Zdola omezená: hodnoty nikdy neklesnou pod nějaké d.x² + 1 je zdola omezená číslem 1.

Automat pozpátku

Inverzní funkce f⁻¹Automat, který dělá opak: z výstupu vrátí původní vstup. Existuje jen u prosté funkce (jinak by nevěděl, kterou z více možností vrátit).f(x) = 3x − 6 (krát 3, minus 6). Opak: plus 6, děleno 3 → f⁻¹(y) = (y + 6)/3.
f(x) = 3x − 6. Kolik je f⁻¹(0)?
Hledám x, pro které 3x − 6 = 0. To je x = 2. Nebo dosadím: (0 + 6)/3 = 2.
✗f⁻¹(x) = 1/f(x)
✓f⁻¹ je funkce „pozpátku“, ne převrácená hodnota.

Mínus jednička tady neznamená mocninu. Pro f(x) = 3x − 6 je f⁻¹(x) = (x + 6)/3, ne 1/(3x − 6).

Funkce = každému x právě jedno y. D(f) = co smím vložit, H(f) = co může vyjít. Sudá f(−x) = f(x), lichá f(−x) = −f(x). Inverzní funkce existuje jen k prosté.

Podle grafu

O čem to je

Graf teploty během dne, graf ceny akcie, křivka rychlosti auta. Z obrázku hned poznáš, kdy teplota stoupala, kdy byla nejvyšší a jestli se dvakrát opakovala stejná hodnota.

Všechny vlastnosti funkcí jdou přečíst z grafu. Naučíš se, co kde hledat – a jak to pak ověřit výpočtem.

Nové pojmy

Souřadnicový systémVodorovná osa x a svislá osa y, protnuté v počátku [0; 0]. Bod [2; 5] leží 2 doprava a 5 nahoru.
Funkce a její grafFunkce f přiřazuje každému x z definičního oboru právě jedno číslo f(x). Graf jsou všechny body [x; f(x)]. Proto každá svislá přímka protne graf nejvýš jednou.Kružnice není graf funkce – svislá přímka ji protne dvakrát.

Co čteš na osách

VlastnostKde ji uvidíš na grafu
D(f) – definiční oborstín grafu na ose x (kam až graf sahá doleva a doprava)
H(f) – obor hodnotstín grafu na ose y (jak nízko a jak vysoko sahá)
rostoucízleva doprava jde graf nahoru
klesajícízleva doprava jde graf dolů
shora / zdola omezenágraf se vejde pod / nad nějakou vodorovnou čáru
Urči H(f) pro f(x) = x² + 1.
Graf je parabola y = x² posunutá o 1 nahoru. Nejníž je v bodě [0; 1], jinak jde nahoru donekonečna. Stín na ose y: ⟨1; ∞).

Souměrnost: sudá a lichá

Dosaď do předpisu −x místo x.
Vyšlo přesně f(x)? Funkce je sudá – graf souměrný podle osy y.
Vyšlo −f(x)? Funkce je lichá – graf souměrný podle počátku.
Ani jedno? Funkce není sudá ani lichá.
Rozhodni o x³, x² a x + 1.
(−x)³ = −x³ → lichá. (−x)² = x² → sudá. −x + 1 není ani x + 1, ani −(x + 1) = −x − 1 → ani sudá, ani lichá.

Vyzkoušej na parabole: s b = 0 je graf souměrný podle osy y (sudá funkce). Jakmile nastavíš b ≠ 0, souměrnost se posune pryč z osy y.

Prostá funkce a inverze

Prostá funkcex₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂). Test: žádná vodorovná přímka neprotne graf dvakrát.Rostoucí funkce je vždy prostá.
Inverzní funkce f⁻¹Funkce, která vrací vstup z výstupu. Její graf dostaneš překlopením grafu f podle přímky y = x; D a H se přitom prohodí.
Napiš y = f(x).
Vyjádři z rovnice x.
Prohoď písmena x a y.
Najdi inverzní funkci k f(x) = 3x − 6 a spočítej f⁻¹(0).
y = 3x − 6 → x = (y + 6)/3 → f⁻¹(x) = (x + 6)/3. f⁻¹(0) = 6/3 = 2.
✗f(x) = x² je rostoucí, protože jde nahoru.
✓Na ℝ rostoucí není: na (−∞; 0⟩ klesá, na ⟨0; ∞) roste.

Rostoucí musí být na celém zkoumaném intervalu. Graf čti vždy zleva doprava – levá větev paraboly jde dolů.

D(f) = stín grafu na ose x, H(f) = stín na ose y. Sudá = zrcadlo podle osy y, lichá = souměrnost podle počátku. Inverzní graf = překlopení podle y = x, jen u prosté funkce.
📏Lineární funkce