🧮 Algebraické výrazy

Čtvercem

O čem to je

Lístek do kina stojí 180 Kč a popcorn 90 Kč. Pro x lidí zaplatíš 180x + 90x = 270x korun. Vzorec s písmenem funguje pro libovolný počet lidí – je to recept, do kterého jen dosadíš.

S výrazy se učíš zacházet proto, abys pak uměl řešit rovnice, upravovat vzorce z fyziky a počítat chytře zpaměti – třeba 101² − 99² bez kalkulačky.

Nové pojmy

ProměnnáPísmeno, za které můžeš dosadit různá čísla.V 270x je proměnná x = počet lidí.
VýrazZápis z čísel, proměnných, znamének a závorek. Nemá v sobě rovnítko.2x² − 3x
Hodnota výrazuČíslo, které dostaneš, když za proměnnou dosadíš konkrétní číslo a vypočítáš.2x² − 3x pro x = −2: 2 · 4 − 3 · (−2) = 8 + 6 = 14.
ČlenČást výrazu oddělená znaménkem + nebo −. Členy se stejnou proměnnou ve stejné mocnině jsou podobné a jde je sečíst.3x + 5x = 8x, ale 3x + 5x² už sečíst nejde.

Roznásobení závorek

Číslo před závorkou vynásobí každý člen uvnitř: 3(x + 2) = 3x + 6. Dvě závorky násobíš „každý s každým“: (x + 2)(x + 3) = x · x + x · 3 + 2 · x + 2 · 3 = x² + 5x + 6.

Proč (a + b)² není a² + b²

Představ si čtverec o straně a + b. Rozdělíš ho čarami na čtverec a × a, čtverec b × b a dva obdélníky a × b. Dohromady: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Ověř si to na tečkách. Nastav mřížku 5 × 5 = 25. V duchu ji rozděl na a = 3 a b = 2: 3 · 3 + 2 · 2 + 2 · (3 · 2) = 9 + 4 + 12 = 25. Bez dvou obdélníků (12 teček) by ti vyšlo jen 13.

(a + b)² = a² + 2ab + b² – dvojnásobný součin nezapomeň!
Umocni (x + 3)².
a = x, b = 3. a² = x², 2ab = 2 · x · 3 = 6x, b² = 9. Výsledek x² + 6x + 9.
✗(a + b)² = a² + b²
✓(a + b)² = a² + 2ab + b²

Zapomněl jsi dva obdélníky. Zkouška čísly: (3 + 2)² = 25, ale 3² + 2² = 13.

Opačný směr: rozklad na součin

Rozklad na součinPřepsat výraz jako násobení několika závorek. Je to roznásobení pozpátku.x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Nejužitečnější je a² − b² = (a − b)(a + b). Roznásob si pravou stranu: a² + ab − ab − b² – prostřední členy se vyruší.

Spočítej zpaměti 101² − 99².
Podle a² − b² = (a − b)(a + b): (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.
Výraz = recept s proměnnou. Závorky roznásobuj „každý s každým“. (a + b)² = a² + 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b).

Vzorce a postup

O čem to je

S výrazy dělá matematik tři věci: roznásobí je (odstraní závorky), rozloží je (vyrobí závorky) a zkrátí zlomky s proměnnou. Rozklad je klíč k rovnicím: součin je nula, jen když je nula některý činitel.

Tady máš vzorce jako tahák a přesný postup, v jakém pořadí je zkoušet.

Nové pojmy

MnohočlenSoučet členů tvaru číslo · proměnná na přirozenou mocninu (a případně samotné číslo).x² + 5x + 6 je mnohočlen se třemi členy – trojčlen.
VytýkáníVytažení společného činitele před závorku. Opak roznásobení.6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Lomený výrazZlomek, v jehož jmenovateli (dole) je proměnná.(x² − 4)/(x − 2)
PodmínkaHodnoty proměnné, které nesmíme dosadit, protože by byl jmenovatel nula. Nulou dělit nejde.U 1/(x − 3) je podmínka x ≠ 3.

Vzorce

Zkus si vzorec vybavit, pak kartičku otoč.

  • (a + b)² – a² + 2ab + b²
  • (a − b)² – a² − 2ab + b²
  • a² − b² – (a − b)(a + b)
  • (a + b)³ – a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a − b)³ – a³ − 3a²b + 3ab² − b³
  • a³ − b³ – (a − b)(a² + ab + b²)
  • a³ + b³ – (a + b)(a² − ab + b²)

Postup rozkladu

Vytkni, co mají všechny členy společné.
Dva členy se znaménkem minus a druhými mocninami? Použij a² − b².
Tři členy? Zkontroluj, jestli to není (a ± b)².
Trojčlen x² + px + q: hledej dvě čísla m, n, kde m + n = p a m · n = q. Pak x² + px + q = (x + m)(x + n).
Rozlož x² + 5x + 6.
Hledám čísla se součtem 5 a součinem 6: to jsou 2 a 3. Výsledek (x + 2)(x + 3). Zkouška roznásobením: x² + 3x + 2x + 6 ✓.
Najdi a, aby 4x² − 12x + 9 = (ax − 3)².
(ax − 3)² = a²x² − 6ax + 9. Porovnám: a² = 4 a −6a = −12 → a = 2.

Krácení lomených výrazů

Napiš podmínky: jmenovatel ≠ 0.
Rozlož čitatele i jmenovatele na součin.
Zkrať stejné závorky (činitele).
Zjednoduš (x² − 4)/(x − 2).
Podmínka x ≠ 2. Čitatel rozložím: (x − 2)(x + 2). Zkrátím (x − 2): výsledek x + 2, pro x ≠ 2.
✗(x + 2)/2 = x + 1
✓(x + 2)/2 = x/2 + 1

Krátit smíš jen činitele (věci spojené násobením), ne sčítance. Dvojka dole dělí celý čitatel, tedy i x.

Rozklad: vytkni → zkus vzorec → trojčlen přes součet a součin. U lomených výrazů nejdřív podmínky, pak rozklad, pak krácení celých závorek.
⚡Mocniny a odmocniny⚖️Lineární rovnice a nerovnice