⚡ Mocniny a odmocniny

Proč to tak je

O čem to je

Bakterie se každou hodinu rozdělí na dvě. Po 10 hodinách jich je 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024krát víc. Psát deset dvojek je otrava – proto existuje zkratka mocnina.

Mocniny potřebuješ u růstu (úroky, epidemie), u velmi velkých a velmi malých čísel (vzdálenost hvězd, velikost atomu) i v každém vzorci s plochou a objemem.

Nové pojmy

Mocnina aⁿZkratka pro násobení stejného čísla: a · a · … · a, celkem n-krát.2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Základ a exponentZáklad je číslo, které násobíme (dole). Exponent je malé číslo nahoře – říká, kolikrát.V 5³ je 5 základ a 3 exponent; 5³ = 125.

Pravidla si odvodíš sám

Násobení: 2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2⁵. Prostě spočítáš dvojky: exponenty se sčítají.

Mocnina mocniny: (2²)³ = 2² · 2² · 2² = 2⁶. Třikrát po dvou dvojkách: exponenty se násobí.

Dělení: 2⁵ : 2² = (2 · 2 · 2 · 2 · 2) : (2 · 2) = 2³. Dvě dvojky se vykrátí: exponenty se odčítají.

Nula a záporný exponent

Co je 2³ : 2³? Každé číslo děleno samo sebou je 1. Podle pravidla o dělení je to ale 2³⁻³ = 2⁰. Aby pravidla platila dál, musí být a⁰ = 1 (pro a ≠ 0).

A 2² : 2³? To je 4 : 8 = 1/2. Podle pravidla 2²⁻³ = 2⁻¹. Proto 2⁻¹ = 1/2 a obecně a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Podívej se na sloupce odspodu nahoru a zpátky: každý krok nahoru je polovina předchozího. Řada pokračuje i pod 2⁰.

Spočítej 3⁻² a 10⁻³.
3⁻² = 1/3² = 1/9. 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001.

Odmocnina – cesta zpátky

Druhá odmocnina √aNezáporné číslo, které po umocnění na druhou dá a. Odmocňujeme jen nezáporná čísla.√49 = 7, protože 7² = 49.
Třetí odmocnina ∛aČíslo, které po umocnění na třetí dá a.∛27 = 3, protože 3³ = 27.

Odmocninu jde zapsat i exponentem: √a = a^(1/2), protože (a^(1/2))² = a^(1/2 · 2) = a¹. Podobně a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Spočítej 8^(2/3).
Jmenovatel 3 = třetí odmocnina, čitatel 2 = druhá mocnina. ∛8 = 2, pak 2² = 4.
✗√(a²) = a pro každé a
✓√(a²) = |a|

Odmocnina je vždy nezáporná. Pro a = −3: √((−3)²) = √9 = 3, ne −3. |a| je absolutní hodnota – číslo bez znaménka minus.

Při násobení se exponenty sčítají, při dělení odčítají, mocnina mocniny je násobí. a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Pravidla v praxi

O čem to je

Fyzik zapíše hmotnost elektronu jako 9,1 · 10⁻³¹ kg. Kdyby psal nuly, zabralo by to půl řádku. Chemik, inženýr i programátor se s mocninami a odmocninami potkávají denně.

Tady máš sadu pravidel jako nářadí a ke každému ukázku, kdy ho vzít do ruky.

Nové pojmy

Mocninaaⁿ znamená a vynásobené samo sebou n-krát. a je základ, n exponent.10³ = 10 · 10 · 10 = 1000.
OdmocninaOpak mocnění. ⁿ√a je číslo, jehož n-tá mocnina je a. Druhou odmocninu píšeme jen √.√16 = 4, ∛8 = 2.

Pravidla

Otoč každou kartičku až poté, co si pravidlo zkusíš vybavit. Platí pro a, b ≠ 0.

  • aʳ · aˢ – aʳ⁺ˢ
  • aʳ : aˢ – aʳ⁻ˢ
  • (aʳ)ˢ – aʳ·ˢ
  • (a·b)ʳ – aʳ · bʳ
  • a⁰ a a⁻ⁿ – 1 a 1/aⁿ
  • a^(m/n) – ⁿ√(aᵐ)
  • √(a²) – |a|
Zjednoduš a³ · a⁴ a (a²)³.
a³ · a⁴ = a³⁺⁴ = a⁷. (a²)³ = a²·³ = a⁶.

Vědecký zápis

Vědecký zápisČíslo zapíšeme jako a · 10ⁿ, kde 1 ≤ a < 10. Exponent n říká, o kolik míst se posunula desetinná čárka.300 000 = 3 · 10⁵; 0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴.
Posuň čárku tak, aby před ní byla jedna nenulová číslice.
Spočítej, o kolik míst jsi ji posunul.
Posun doleva (číslo bylo velké) → exponent kladný. Posun doprava (číslo bylo malé) → exponent záporný.

Úpravy odmocnin

Částečné odmocněníČíslo pod odmocninou rozložíš na součin, kde jeden činitel je druhá mocnina, a ten odmocníš. Využívá pravidlo √(a · b) = √a · √b.√50 = √(25 · 2) = 5√2.
Usměrnění zlomkuOdstranění odmocniny ze jmenovatele (spodní části zlomku). Zlomek rozšíříš – čitatele i jmenovatele vynásobíš toutéž odmocninou.1/√2 = (1 · √2)/(√2 · √2) = √2/2.
Zjednoduš √72 a usměrni 6/√3.
√72 = √(36 · 2) = 6√2. 6/√3 = 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3.
✗√(9 + 16) = √9 + √16 = 7
✓√(9 + 16) = √25 = 5

Odmocnina se dá rozdělit jen u součinu, ne u součtu. Stejně tak (a + b)² ≠ a² + b².

Exponenty: násobení → sčítám, dělení → odčítám, mocnina mocniny → násobím. Vědecký zápis a · 10ⁿ s 1 ≤ a < 10. Odmocninu dělím jen u součinu; usměrnění = rozšířit zlomek odmocninou.
↔️Absolutní hodnota🧮Algebraické výrazy